[論文レビュー] Local Polynomial Regression Based on Functional Data

Karim Benhenni, David Degras|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2011

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の誤差過程を想定したもとで、関数データに対する局所多項回帰を展開し、回帰関数およびその導関数の推定における漸近的バイアスと分散の表現を導出する。最適なサンプリング密度とバンド幅を確立し、漸近的正規性を証明し、正確なバンド幅、漸近的最適バンド幅、および交差検証によるバンド幅を比較するシミュレーションにより性能を検証する。

ABSTRACT

Suppose that $n$ statistical units are observed, each following the model $Y(x_j)=m(x_j)+ ε(x_j),\, j=1,...,N,$ where $m$ is a regression function, $0 \leq x_1

研究の動機と目的

• 本稿では、曲線全体が離散的な点で観測される関数データの設定において、局所多項回帰を拡張することを目的とする。
• 一般の誤差過程の下で、回帰関数およびその導関数の推定量の漸近的バイアスと分散の表現を導出することを目的とする。
• m およびその導関数の推定における平均二乗誤差を最小化する最適なサンプリング密度とバンド幅を特定することを目的とする。
• 推定量の漸近的正規性を確立し、推論の目的（信頼区間、仮説検定など）に資することを目的とする。
• 正確な最適バンド幅、漸近的最適バンド幅、および交差検証によるバンド幅の性能を、広範なシミュレーションにより比較することを目的とする。

提案手法

• 固定された点 x における回帰関数 m(x) 及びその導関数の推定に、次数 p の局所多項回帰フィッティングを用いる。
• 誤差過程の共分散関数の微分可能性条件の下で、n, N → ∞ のときの漸近的バイアスと分散の表現を導出する。
• 設計行列およびその逆行列に対するテイラー展開と行列の漸近的解析を、サンプリング密度 f およびカーネル K を用いて実施する。
• 誤差過程の共分散構造に基づいて、推定量の漸近的分散を最小化する最適なサンプリング密度 f*(x) を導出する。
• バイアスと分散の解析的表現を用いて、漸近的平均二乗誤差を最小化する最適バンド幅を導出する。
• 連続関数空間における局所多項回帰推定量の漸近的正規性を証明し、同時に信頼区間や仮説検定の実施を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従属的または非 stationairy な誤差を持つ関数データにおける、局所多項回帰推定量の漸近的バイアスと分散は、どのように振る舞うか？
• RQ2 局所多項回帰推定量の漸近的分散を最小化する最適なサンプリング密度 f*(x) は何か？
• RQ3 異なる誤差共分散構造の下で、m およびその導関数の局所多項回帰フィッティングの最適バンド幅は何か？
• RQ4 推定量の漸近的正規性は、信頼区間や仮説検定などの推論にどのように寄与するか？
• RQ5 有限標本における導関数推定の性能について、正確な最適バンド幅、漸近的最適バンド幅、および交差検証によるバンド幅は、どのように比較されるか？

主な発見

• 標準的な正則性条件の下で、漸近的バイアスの表現が導出され、分散の表現は誤差過程の共分散関数およびその導関数に依存する。
• 最適なサンプリング密度 f*(x) は、誤差共分散関数の2階微分の絶対値の和の平方根に比例する形で導出される。
• 局所定数、線形、2次、3次フィッティングの m および m′ について、漸近的平均二乗誤差を最小化する解析的表現に基づいた最適バンド幅が導出される。
• 連続関数空間における局所多項回帰推定量の漸近的正規性が確立され、同時に信頼区間の構築が可能になる。
• シミュレーションの結果、正確な最適バンド幅が平均二乗誤差の観点で最も優れた性能を示し、次に漸近的最適バンド幅、交差検証バンド幅の順に性能が劣る。
• 分散拡張の結果、誤差相関の影響が共分散関数の2階微分項 ρ^{(0,2)}, ρ^{(1,1)}, および ρ^{(0,4)} に現れることが明らかになった。