[論文レビュー] Local Positivity of Ample Line Bundles

Lawrence Ein, Oliver Küchle+1 more|ArXiv.org|Aug 9, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、複素射影的代数的多様体上の非常に正の線束に対して、Seshadri 定数の下界を確立する。n 次元多様体 X 上のネフかつビッグな線束 L に対して、すべての点 x において、ただし可算個の真の閉部分多様体の和集合を除き、ε(L,x) ≥ 1/n が成り立つ。主な手法は、吹き上げにおける重複度の制御とギャップ構成を用いて下界を導出するもので、局所的正性に関する結果を拡張し、付随線型系統の生成に関する結果を得る。

ABSTRACT

Let $L$ be a nef line bundle on a smooth complex projective variety $X$ of dimension $n$. Demailly has introduced a very interesting invariant --- the Seshadri constant $ε(L,x)$ --- which in effect measures how positive $L$ is locally near a given point $x \in X$. For instance, Seshadri's criterion for ampleness may be phrased as stating that $L$ is ample if and only if there exists a positive number $e > 0$ such that $ε(L,x) > e$ for all $x \in X$, and if $L$ is VERY ample, then $ε(L,x) \ge 1$ for every $x$. We prove the somewhat surprising result that in each dimension $n$ there is a uniform lower bound on the Seshadri constant of an ample line bundle $L$ at a very general point of $X$. Specifically, $ε(L,x) \ge (1/n) $ for all $x \in X$ outside the union of countably many proper subvarieties of $X$. Examples of Miranda show that there cannot exist a bound (independent of $X$ and $L$) that holds at every point. The proof draws inspiration from two sources: first, the arguments used to prove boundedness of Fano manifolds of Picard number one; and secondly some of the geometric ideas involving zero-estimates appearing in the work of Faltings and others on Diophantine approximation and transcendence theory. We give some elementary applications of the main theorem to adjoint and pluricanonical linear series.

研究の動機と目的

• 複素射影的代数的多様体の一般点における非常に正な線束の局所的正性に対する一様な下界を確立すること。
• 表面における既知の下界を高次元多様体へ拡張すること。
• 付随線型系統 |K_X + L| による s-ジェットの生成に関する定量的基準を提示し、Seshadri 定数と消失定理を結びつけること。
• 一般型の最小多様体における多様体の正則標準写像と双有理性に関する結果を一般化すること。
• ε(L,x) ≥ 1/n という下界の最適性を検討し、非常に一般な点において ε(L,x) ≥ 1 が成り立つかどうかを検討すること。

提案手法

• Seshadri 定数 ε(L,x) を、吹き上げ f: Bl_x(X) → X において f^*L - εE がネフとなるような ε ≥ 0 の上界として定義する。
• 高次の除集合 E_x ∈ |kL| の重複度の差を制御するためのギャップ構成を用い、一般点 y と曲線 C_y 上の点 x における重複度を比較する。
• C_y ⊄ E_x であるように E_x を再選択し、y における高い重複度を保ちつつ、交点推定における矛盾を避ける。
• 吹き上げにおける Kawamata–Viehweg の消失定理とネフ性の基準を適用し、付随線型系統の消失結果を導出する。
• 部分多様体 Y ⊄ B に対して ∫_Y c_1(L)^r ≥ (rα)^r という数値的仮定を用いて、非常に一般な x に対して ε(L,x) ≥ α を導出する。
• m が十分に大きいときの mL を用いて整数の場合に還元し、ε(mL,x) = mε(L,x) を用いて Q-除集合への一般化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 次元多様体上の非常に正な線束に対して、多様体や線束に依存しない一様な下界を Seshadri 定数に確立できるか。
• RQ2 非常に一般な点において、下界 ε(L,x) ≥ 1/n を ε(L,x) ≥ 1 に改善することは可能か。
• RQ3 L と部分多様体の交点数にどのような条件を課すと、|K_X + L| が一般点で s-ジェットを生成するか。
• RQ4 Seshadri 定数は、一般型の最小多様体における正則標準写像の双有理性とどのように関係するか。
• RQ5 点 x を通る曲線の幾何的制約を用いて、下界 ε(L,x) ≥ 1/n を鋭くできるか。

主な発見

• 任意のネフかつビッグな線束 L と n 次元の既約な射影的多様体 X に対して、すべての x ∈ X において、ただし可算個の真の閉部分多様体の和集合を除き、ε(L,x) ≥ 1/n が成り立つ。
• L が非常に正であれば、任意の δ > 0 に対して、{x ∈ X | ε(L,x) > 1/(n+δ)} はザリスキ開かつ稠密である。
• α > 0 と、すべての r 次元部分多様体 Y ⊄ B に対して ∫_Y c_1(L)^r ≥ (rα)^r という数値的条件が成り立つならば、十分に一般な x ∈ X に対して ε(L,x) ≥ α が成り立つ。
• 系 2 では、すべての Y ⊄ B に対して ∫_Y c_1(L)^r ≥ (r(n+s))^r が成り立つならば、|K_X + L| は一般点で s-ジェットを生成し、h^0(X, O_X(K_X + L)) ≥ (n+s choose n) が成り立つ。
• 系 3 では、|K_X + mL| が m ≥ 2n^2 のとき双有理的に非常に正であることが示され、一般型最小多様体の正則標準写像に関する結果を拡張する。
• 一般型の最小 n 重多様体で指数が r である場合、|mrK_X| は m ≥ 2n^2 + 1 のとき双有理的に非常に正であることが、対数解体と Q-除集合の技法を用いて示される。