[論文レビュー] Local Problems on Grids from the Perspective of Distributed Algorithms, Finitary Factors, and Descriptive Combinatorics

Jan Grebík, Václav Rozhoň|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Data Management and Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、d次元グリッド上の局所的問題を考察することにより、分散アルゴリズム、i.i.d.過程の有限要因、記述的組合せ論を統一的な枠組みで結びつける。有限要因の文脈で時間階層定理を証明し、ffiidの複雑さに関する未解決問題を解消し、UL0CAL(O(log* 1/ε)) などの均一局所的複雑さクラスが、有限依存過程の真部分集合に strictly に含まれることを示し、これらの分野における局所性理論を前進させる。

ABSTRACT

We present an intimate connection among the following fields: (a) distributed local algorithms: coming from the area of computer science, (b) finitary factors of iid processes: coming from the area of analysis of randomized processes, (c) descriptive combinatorics: coming from the area of combinatorics and measure theory. In particular, we study locally checkable labellings in grid graphs from all three perspectives. Most of our results are for the perspective (b) where we prove time hierarchy theorems akin to those known in the field (a) [Chang, Pettie FOCS 2017]. This approach that borrows techniques from the fields (a) and (c) implies a number of results about possible complexities of finitary factor solutions. Among others, it answers three open questions of [Holroyd et al. Annals of Prob. 2017] or the more general question of [Brandt et al. PODC 2017] who asked for a formal connection between the fields (a) and (b). In general, we hope that our treatment will help to view all three perspectives as a part of a common theory of locality, in which we follow the insightful paper of [Bernshteyn 2020+] .

研究の動機と目的

• 分散アルゴリズム、i.i.d.過程の有限要因、記述的組合せ論という三つの視点を、共通の局所性理論の下に統一すること。
• 特に Holroyd, Schramm, and Wilson (2017) や Brandt et al. (2017) が提起した、有限要因解の複雑さに関する未解決問題を解消すること。
• 分散計算と有限要因構成の間の正式な関係を確立すること、特に TOAST および RTOAST フレームワークを通じて。
• 分散および集中モデルにおける均一局所的複雑さを分析し、最悪ケースの複雑さが対数的である一方で、平均ケースの複雑さが定数となる場合があることを示すこと。

提案手法

• 特にラウンド削除法と局所性階層に関する結果を応用し、無限グリッド上の有限要因解を分析するため、分散アルゴリズムの技術を適応する。
• 有限依存を持つ解を生成できるランダム化構成として、TOAST および RTOAST フレームワークを導入し、複雑さの分析を可能にする。
• n やグローバルな知識に依存しないアルゴリズムを分析するため、均一局所的複雑さの概念を用いる。これは、平均ケースおよびアマortized複雑さと関連する。
• Borel解や可測解といった記述的組合せ論の結果を応用し、Z^d 上の局所的問題の複雑さを特徴付ける。
• 有限依存過程の概念を用いて、3色彩色などの特定の問題が FINDEP に属さないことを示し、厳密な階層構造を示す。
• 分散アルゴリズムと有限要因の間の同等性を活用し、特に t-ホップ近傍写像を通じて、複雑さの結果を異なる分野間で移動可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brandt et al. (2017) が予想したように、分散アルゴリズムと i.i.d.過程の有限要因の間に正式な関係は存在するか？
• RQ2 LOCALモデルにおける時間階層定理と同様に、有限要因の文脈でも時間階層定理を確立できるか？
• RQ3 有限依存過程のクラスは、TOASTプロセスのクラスの真部分集合に含まれるのか、それとも同一であるのか？
• RQ4 d次元グリッド上の3色彩色の均一局所的複雑さは何か？ また、(1/ε) · 2^{O(√log(1/ε))} よりも改善可能か？
• RQ5 グリッド上の局所的問題の均一複雑さは、非整数 r に対して Θ((1/ε)^{1/r}) のような中間的成長率を示すか？

主な発見

• 本稿は、有限要因の文脈で時間階層定理を証明し、任意の t に対して t ラウンドで解けるが o(t) ラウンドでは解けない局所的問題が存在することを示した。
• UL0CAL(O(log* 1/ε)) ⊆ FINDEP ⊆ UL0CAL((1/ε)^{1+o(1)}) を確立し、有限要因解における厳密な階層構造を示した。
• 3色彩色が d 次元グリッド（d > 1）上で FINDEP に属さないことを示し、Holroyd, Schramm, and Wilson (2017) の結果を確認した。これは未解決問題を解消した。
• グリッド上での3色彩色の均一複雑さが (1/ε) · 2^{O(√log(1/ε))} であることを示し、この境界は 1/ε の多対数的関数に改善可能である可能性がある。
• 分散および LCA モデルにおける平均ケースの複雑さが、最悪ケースの複雑さが対数的であるにもかかわらず、定数に保たれることを示した。これは、アルゴリズム設計における一様性に起因する。
• LCA モデルにおけるアマortizedクエリ複雑さが、Δ+1彩色やLLLの問題に対して定数に保たれることを示し、Linialのアルゴリズムの均一版を用いた。