[論文レビュー] Local Ramsey theory. An abstract approach

José G. Mijares, Jesús E. Nieto|ArXiv.org|Dec 14, 2007

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、トポロジカル・ラマージュースペースにおける局所的ラマージュ理論を拡張し、部分集合族に選択的coideal構造を導入することで、選択的条件下でH-ラマージュ集合とH-ベール集合が一致することを証明する。さらに、H-ラマージュ集合の族がサスリン作用の下で閉じていることも示し、ファラの半選択的coidealに関する結果を抽象的ラマージュ空間へ一般化する。

ABSTRACT

It is shown that the known notion of selective coideal can be extended to a family $\mathcal{H}$ of subsets of $\mathcal{R}$, where $(\mathcal{R},\leq,r)$ is a topological Ramsey space in the sense of Todorcevic (see \cite{todo}). Then it is proven that, if $\mathcal{H}$ selective, the $\mathcal{H}$-Ramsey and $\mathcal{H}$-Baire subsets of $\mathcal{R}$ are equivalent. This extends the results of Farah in \cite{farah} for semiselective coideals of $\mathbb{N}$. Also, it is proven that the family of ${\cal H}$--Ramsey subsets of ${\cal R}$ is closed under the Souslin operation.

研究の動機と目的

• ℕにおける半選択的coidealに関するファラの結果を、任意のトポロジカル・ラマージュースペースへ一般化すること。
• トポロジカル・ラマージュースペース（ℛ, ≤, r）の文脈において、H-ラマージュ集合およびH-ベール集合の概念を定義し、それらを研究すること。
• D–O性質を、稠密開集合の局所的類似として用いることで、H-ラマージュ集合とH-ベール集合が等価となる条件を確立すること。
• ℋが選択的であるとき、H-ラマージュ部分集合の族がサスリン作用の下で閉じていることを証明すること。
• エレンツェック空間やFINₖ空間を含む、具体的な空間とcoidealの例を提示し、CHまたはマーティンの公理の下で、必要な性質を満たすcoidealが構成可能であることを示すこと。

提案手法

• トポロジカル・ラマージュースペースℛの部分集合族ℋに対して、トドルチェヴィッチのトポロジカル・ラマージュ空間の枠組みを用いて、選択的coidealの一般化を導入する。
• D–O性質を、稠密開集合の局所的類似として定義し、これによりH-ラマージュ集合の特徴づけが局所的ベール性質を介して可能になるようにする。
• 選択的coidealℋに対して、ℛの部分集合がH-ラマージュであることは、H-ベール性質を持つことと同値であることを、D–O性質と合成公理を用いて証明する。
• H-ラマージュ集合にサスリン作用を適用し、ℋが選択的であるとき、この作用の下で族が閉じていることを証明する。これにはℛの構造とℋの性質に依存する。
• エレンツェック空間とFINₖ空間を用いた例の構成を行い、CHまたはマーティンの公理の下で、所望の性質を満たすcoidealが構成可能であることを示す。
• 超限再帰と鳩の巣原理（A.6）を用いて、ほぼ一様な木を構築し、ボレル彩色に対して一様な部分空間の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル・ラマージュースペースℛの部分集合族ℋに対して、どのような条件下でH-ラマージュ集合とH-ベール集合が等価となるか？
• RQ2 選択的性の概念をℕから任意のトポロジカル・ラマージュースペースへ一般化するには、どのような方法があるか？ その際、ラマージュ的性質が保存されるようにするには？
• RQ3 ℋが選択的であるとき、ℛのH-ラマージュ部分集合の族はサスリン作用の下で閉じているか？
• RQ4 ℕ^{[∞]}を超える他のトポロジカル・ラマージュ空間に対しても、半選択的または選択的coidealの構成を拡張可能か？
• RQ5 一般のラマージュ空間において、このようなcoidealの存在を保証するには、モデル理論的または集合論的仮定（例：CH、MA）は必要か？

主な発見

• 選択的coidealℋを有するトポロジカル・ラマージュースペースℛにおいて、ℛの部分集合がH-ラマージュであることと、H-ベール性質を持つことは同値である。
• ℋが選択的であるとき、ℛのH-ラマージュ部分集合の族はサスリン作用の下で閉じており、ファラの結果が抽象的ラマージュ空間へ拡張される。
• D–O性質は、ℋの文脈において、稠密開集合の局所的類似として機能し、H-ラマージュ集合とH-ベール集合の等価性を可能にする。
• エレンツェック空間において、ℋ = {A ∈ ℕ^{[∞]} : xは(xₙ)ₙ∈Aの集積点} は、(xₙ)がボレルであるとき選択的coidealとなり、ℋはΠ₁¹に属する。
• CHの下で、FINₖ^{[∞]}において、任意のボレル彩色が[B′] ⊆ [B]で定数となるような選択的coidealℋを構成可能であり、(A.6) mod ℋを満たす。
• 超限再帰を用いたℋの構成と鳩の巣原理（A.6）の使用により、ℋは半選択的であり、所望の均一性性質を満たすことが保証される。