[論文レビュー] Local regularity of the Bergman projection on a class of pseudoconvex domains of finite type

Tran Vu Khanh, Andrew Raich|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Bell-Ligockaの条件Rを満たし、良好な非一様スケーリング構造を有する、$\mathbb{C}^n$ 内の有限型の擬凸領域のクラスに対して、局所的 $L^p$-Sobolev および Hölder 連続性の推定値を確立する。主な結果は、特に $h$-拡張可能領域として知られるこれらの領域が、非一様スケーリング下で一様 $L^2$ 仮局所的推定値を示すことであり、これは $L^p_s$ および $\lambda_s$ 空間における局所的正則性を示す。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to prove that if a pseudoconvex domains $Ω\subset\mathbb{C}^n$ satisfies Bell-Ligocka's Condition R and admits a ``good" dilation, then the Bergman projection has local $L^p$-Sobolev and Hölder estimates. The good dilation structure is phrased in terms of uniform $L^2$ pseudolocal estimates for the Bergman projection on a family of anisotropic scalings. We conclude the paper by showing that $h$-extendible domains satisfy our hypotheses.

研究の動機と目的

• 有限型の擬凸領域におけるBergman射影の局所的 $L^p$-SobolevおよびHölder正則性推定値を確立すること。
• Bell-Ligockaの条件Rを満たし、『良好な』非一様スケーリング構造を有する領域のクラスを特定すること。
• $h$-拡張可能領域が局所的正則性に必要な幾何的および解析的条件を満たすことを示すこと。
• 非一様スケーリング下でBergman射影に対して一様 $L^2$ 仮局所的推定値を証明し、それらをCatlinの多重型に関連付けること。
• 既知の正則性結果を、厳密に擬凸または凸領域に限らず、$h$-拡張可能領域を含むより広いクラスの有限型領域へと拡張すること。

提案手法

• 近傍 $U$ におけるBergman射影の $L^2$ 仮局所的推定値を用いて、Bell-Ligockaの条件Rの局所的バージョンを導入する。
• 定義関数および多重型不変量のスケーリング挙動の均一性を用いて、境界点における『良好な非一様スケーリング』を定義する。
• スケーリング構造を用いて、すべてのスケーリング領域 $\Omega_{p,\delta}$ における $B_{\Omega_{p,\delta}}$ の一様 $L^2$ 仮局所的推定値を導出する。この定数は $\delta$ に依存しない。
• Catlin理論の亜楕円的推定値を、スケーリングされた領域に適用し、Bergman計量の下界を活用する。
• スケーリング写像 $\Phi_{q,\eta}$ のヤコビアンおよび多重型 $m_{q,j}$ を用いて、Bergman核の成長に対する一様な制御を確立する。
• 一様な仮局所的推定値が $L^p_s$ および $\Lambda_s$ 界の正則性を示すことを示すことで、スケーリング挙動とBの局所的正則性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型の擬凸領域におけるBergman射影が、どのような幾何的および解析的条件下で局所的 $L^p$-SobolevおよびHölder正則性を有するか。
• RQ2 『良好な』非一様スケーリング構造の存在が、Bergman射影の $L^2$ 仮局所的推定値の一様性とどのように関係するか。
• RQ3 $h$-拡張可能領域は、Bergman射影の局所的正則性に必要な条件を満たすか。
• RQ4 非一様スケーリング下での一様仮局所的推定値が、$L^p_s$ および $\Lambda_s$ 空間におけるグローバル正則性特性を導くことができるか。
• RQ5 Catlinの多重型は、一様な正則性推定値を保証するスケーリング挙動を特徴付ける役割を果たすか。

主な発見

• Bell-Ligockaの条件Rを満たし、良好な非一様スケーリング構造を有する領域では、Bergman射影が局所的 $L^p$-SobolevおよびHölder正則性推定値を有する。
• すべてのスケーリング領域 $\Omega_{p,\delta}$ において、$B_{\Omega_{p,\delta}}$ の一様 $L^2$ 仮局所的推定値が成り立ち、定数は $\delta$ に依存しない。
• $h$-拡張可能領域は、主定理の仮定を満たしており、良好な非一様スケーリング構造および一様な仮局所的推定値の両方を有する。
• スケーリング領域におけるBergman計量の下界は、$\delta$ に一様に亜楕円的推定値を導き、これにより所望の仮局所的推定値が得られる。
• スケーリング写像 $\Phi_{q,\eta}$ および多重型 $m_{q,j}$ は、Bergman核の成長を制御し、推定値 $B_{\Omega_{p,\delta}}(z,X) \gtrsim d^{-\kappa}_{\Omega_{p,\delta}}(z)|X|$ が得られる。
• 主結果は、既知の正則性結果を、厳密に擬凸、凸、または分離可能な領域に限らず、$h$-拡張可能領域を含むより広い有限型領域のクラスへと拡張する。