[論文レビュー] Local regularity properties of almost- and quasiminimal sets with a sliding boundary condition

Guy David|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、滑り境界条件の下で、ほぼ最小および準最小集合の局所的境界正則性を確立し、局所的アハルフォルス正則性、可解性、および特定の状況下での一様可解性を証明する。内部正則性結果を境界設定に拡張し、極限における安定性を示し、リーマン連続写像と双リプシッツ射影を用いた新規な変形技術により、境界付近におけるほぼ最小集合の密度がほとんど非減少であることを確立する。

ABSTRACT

We study the boundary regularity of almost minimal and quasiminimal sets that satisfy sliding boundary conditions. The competitors of a set $E$ are defined as $F = φ_1(E)$, where $\{ φ_t \}$ is a one parameter family of continuous mappings defined on $E$, and that preserve a given collection of boundary pieces. We generalize known interior regularity results, and in particular we show that the quasiminimal sets are locally Ahlfors-regular, rectifiable, and some times uniformly rectifiable, that our classes are stable under limits, and that for almost minimal sets the density of Hausdorff measure in balls centered on the boundary is almost nondecreasing.

研究の動機と目的

• 最小集合の既知の内部正則性結果を、滑り境界条件の下で境界に拡張すること。
• 境界付近における準最小集合の局所的アハルフォルス正則性および可解性を確立すること。
• ハウスドルフ距離における極限に関して、準最小クラスの安定性を証明すること。
• ほぼ最小集合について、境界上に中心を持つ球におけるd次元ハウスドルフ測度の密度がほとんど非減少であることを示すこと。
• 境界点における吹き出し極限の構造と、それらが最小錐とどのように関係するかを調査すること。

提案手法

• 境界の指定された部分を保つ1パラメータ族の連続写像 {ϕt} を用いて競合者を定義する。
• スケルトンへのリーマン連続写像と磁気射影を用いて、集合の安定した変形を構成する。
• 両側弱幾何学的補題とリーマン連続グラフの大きな部分集合（BPLG）を用いて、局所的均一可解性を証明する。
• 段階的変形構成を複数段階に分けて実行する：臨界集合の被覆、多数対一写像の処理、安定性を保証するための関数の修正。
• [DMS]の集中補題と多面体ネットワーク近似を用いて、準最小集合の極限を制御する。
• ハウスドルフ測度の下方連続性と吹き出し解析を活用し、極限集合の幾何的性質を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑り条件の下で、準最小集合は境界付近で局所的アハルフォルス正則かつ可解的か？
• RQ2 ほぼ最小集合について、境界上に中心を持つ球におけるd次元ハウスドルフ測度の密度関数 r ↦ r−dHd(E ∩ B(x,r)) はほとんど非減少か？
• RQ3 準最小およびほぼ最小集合のクラスはハウスドルフ距離における極限に関して安定的か？
• RQ4 ほぼ最小集合の境界点における吹き出し極限は、滑り最小錐として特徴付けられるか？
• RQ5 準最小集合の境界付近における一様可解性は、どの程度まで確立可能か？

主な発見

• 滑り条件の下で、準最小集合は境界付近で局所的アハルフォルス正則かつ可解的である。
• ある技術的仮定の下で、準最小集合は局所的均一可解的であり、コア集合 E∗ は均一可解的である。
• ハウスドルフ距離における極限に関して、準最小集合のクラスは安定的である。これは安定な変形構成により示された。
• ほぼ最小集合について、x が境界上にあるとき、密度関数 r ↦ r−dHd(E ∩ B(x,r)) はほとんど非減少である。
• ほぼ最小集合の境界点における吹き出し極限は、錐型境界部分に関連する滑り最小錐である。
• 証明は、リーマン連続写像とリーマン連続グラフの大きな部分集合を用いた新規な変形技術に依拠しており、主要な状況で一様可解性を確立する。