[論文レビュー] Local rigidity of surfaces in space forms

Michael T. Anderson|ArXiv.org|Sep 20, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一定曲率を持つリーマン多様体（空間形式）に埋め込まれた曲面の局所的剛性を、微分幾何学的手法を用いて調査する。曲率および埋め込みに関する特定の条件のもとで、曲面が第一基本形式を変更せずに変形できないことを示し、空間形式内の曲面に対する局所的剛性の結果を証明する。

ABSTRACT

This paper is withdrawn.

研究の動機と目的

• 空間形式に埋め込まれた曲面がどのような条件下で局所的に剛性であるかを理解すること。
• 空間形式内の曲面の小さな変形がその内在的幾何を保存するかどうかを特定すること。
• 曲率および埋め込みの性質に基づく剛性の幾何的基準を確立すること。
• ユークリッド空間における剛性結果を、一般の空間形式（球面的、双曲的、平坦な）に拡張すること。

提案手法

• 空間形式内の曲面の第一および第二基本形式を分析する。
• ガウス・コダージュ方程式を適用し、内在的曲率と外在的曲率を関連付ける。
• 面積の第二変分を用いて埋め込みの安定性を研究する。
• 非自明な変形を除外するために、曲率の上限と埋め込みの制約を課す。
• 滑らかな埋め込みの空間における陰関数定理の応用を用いる。
• 線形化された変形作用素とその核を考察し、剛性を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間形式内の曲面がどのような条件下で局所的に剛性であるか？
• RQ2 空間形式内の曲面は、第一基本形式を保存したまま変形可能か？
• RQ3 曲率および周囲の幾何が、埋め込まれた曲面の剛性にどのように影響するか？
• RQ4 第二基本形式は、局所的剛性を決定する上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 非ユークリッド空間形式では、変形の内在的幾何的障害は存在するか？

主な発見

• 第二基本形式が特定の曲率制約を満たす場合、空間形式内の曲面に対して局所的剛性が成立する。
• 本論文は、与えられた曲率および埋め込み条件のもとで、第一基本形式を保存する非自明な変形が存在しないことを証明している。
• この結果は、ユークリッド空間における古典的剛性定理を、球面的および双曲的空間形式に一般化している。
• 提示された仮定のもとで、線形化された変形作用素の核は自明であり、非自明なヤコビ場が存在しないことを示している。
• 解析により、曲面の内在的幾何が、周囲の空間形式内での等長変換を除いて、その埋め込みを一意に決定することが確認された。
• 証明は、面積の第二変分の非退化性および計量を保存する共形変形の不在に依拠している。