[論文レビュー] Local similarities and the Haagerup property

Bruce Hughes|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな超距離空間上の局所的類似写像の局所的に有限に決定された群を導入し、ジッパー作用を通じてハーガープ性を証明する。主な貢献は、ファーリーによるトランスフォーメーション群に関する結果の一般化であり、このような群が壁を持つ空間への固有作用を許容することを示し、木の境界や超距離空間に作用する広範な群の類にa-T-メンアブル性を確立する。

ABSTRACT

A new class of groups, the locally finitely determined groups of local similarities on compact ultrametric spaces, is introduced and it is proved that groups in this class have the Haagerup property (that is, they are a-T-menable in the sense of Gromov). The class includes Thompson's groups, which have already been shown to have the Haagerup property by D. S. Farley, as well as many other groups acting on boundaries of trees. A sufficient condition, used in this paper, for the Haagerup property is shown in the appendix by D. S. Farley to be equivalent to the well-known property of having a proper action on a space with walls.

研究の動機と目的

• トランスフォーメーション群がハーガープ性を有することを示したファーリーの結果を、コンパクトな超距離空間に作用するより広範な群の類へと拡張すること。
• コンパクトな超距離空間上の局所的類似写像の局所的に有限に決定された群のクラスを定義し、その性質を研究すること。
• ジッパー作用と壁を持つ空間への固有作用との間の関係を確立し、ハーガープ性のための新たな十分条件を提供すること。
• 局所的に剛性を持つコンパクトな超距離空間 X 上のすべての局所的類似写像の全群 LS(X) が、ハーガープ性の仮定を満たしていることを示すこと。
• 既存のトランスフォーメーション群に類似する群や木の境界に作用する群に関するハーガープ性に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• コンパクトな超距離空間上の局所的類似写像の局所的に有限に決定された群の概念を導入し、局所的制限における有限性条件を保証すること。
• 集合 E とその部分集合 Z ⊆ E に対して、群 Γ のすべての g に対して対称差 gZ △ Z が有限であり、任意の r > 0 に対して |gZ △ Z| < r を満たす g が有限個であるようなジッパー作用を定義すること。
• 群作用によるジッパーの軌道から壁の空間を構成し、すべての平行移動された Z の共通部分集合に属さない点に対応する半空間を用いること。
• ジッパー作用が、基点を有界な擬距離で動かす群元が有限個であることを示すことにより、壁を持つ空間への固有作用を誘導することを証明すること。
• 壁を持つ空間への固有作用とハーガープ性との間の同値性（CAT(0)立方複体を介して）を用いて、群のハーガープ性を結論づけること。
• ファーリーの補足を活用し、ジッパー作用が壁を持つ空間への固有作用と同値であることを示し、この構成をハーガープ性の既知の基準と結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな超距離空間上の局所的類似写像の局所的に有限に決定された群は、ハーガープ性を満たすか？
• RQ2 ジッパー作用は、超距離空間に作用する群においてハーガープ性を確立するための一般枠組みとして機能できるか？
• RQ3 ジッパー作用と壁を持つ空間への固有作用との同値性は、すべての可算離散群に対して成り立つか？
• RQ4 トランスフォーメーション群に類似する群や木の境界に作用する群は、どの程度まで局所的に有限に決定された局所的類似写像の群のクラスに含まれるか？
• RQ5 この文脈において、ハーガープ性とCAT(0)立方複体への固有作用の存在との関係は何か？

主な発見

• コンパクトな超距離空間上の局所的類似写像の局所的に有限に決定された群のクラスは、ハーガープ性を有する。
• トランスフォーメーション群 F, T, および V はこのクラスに含まれており、したがってハーガープ性を引き継ぐ。
• 局所的に剛性を持つコンパクトな超距離空間 X 上のすべての局所的類似写像の全群 LS(X) は、仮定を満たしており、したがってハーガープ性を有する。
• 群 Γ が集合 E にジッパー作用をすると、壁を持つ空間への固有作用が誘導され、これがハーガープ性を示唆する。
• 壁を持つ空間への固有作用の存在は、ファーリーによる補足で示されたように、ジッパー作用の存在と同値である。
• この構成は、ファーリーのトランスフォーメーション群に関する以前の結果を一般化する統一的枠組みを提供し、木の境界や超距離空間に作用する広範な群のクラスへのハーガープ性の拡張を実現する。