[論文レビュー] Local spectral convergence in $RCD^*(K,N)$ spaces

Luigi Ambrosio, Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、点付き測度付きGromov＝ハウスドルフ収束下でのRCD$^*(K,N)$空間におけるディリクレ固有値および固有関数の局所的スペクトル収束の必要十分条件を確立する。極限空間が調和的置換条件を満たす場合、一般の球上でスペクトル収束が成立することを証明し、メトリックコーンと調和近似技術を用いて、このような条件がなければ一般に収束が成立しない反例を提示する。

ABSTRACT

In this note we give necessary and sufficient conditions for the validity of the local spectral convergence, in balls, on the $RCD^*$-setting.

研究の動機と目的

• 点付きmGH収束下でのRCD$^*(K,N)$空間におけるディリクレ固有値の局所的スペクトル収束の必要十分条件を特定すること。
• 近似空間上の固有関数が、境界条件がディリクレ条件である極限空間上の固有関数に収束するかどうかという未解決の問題を解明すること。
• 追加の幾何的・解析的条件がなければ一般に局所的スペクトル収束が成立しないことを示す反例を構成すること。
• 調和的置換による距離関数の収束が$H^{1,2}$-ノルムで成立する条件を確立し、スペクトル安定性を可能にする。
• 調和近似およびMosco収束を用いて、メトリックコーンおよび定数体積成長を示す空間に対してスペクトル収束が成立することを証明すること。

提案手法

• 極限空間における近似固有関数を構成するために、距離関数の調和的置換を用いる。
• 同調的ディリクレ境界条件を伴うディリクレエネルギーのMosco収束を適用し、固有値問題の安定性を保証する。
• 鋭いラプラシアン比較定理および最大原理を用いて、距離関数およびその調和的置換の挙動を制御する。
• メトリックコーンにおいて$H^{1,2}_0$と$\tilde{H}^{1,2}_0$の空間が等価であることを確立し、テスト関数が compact な台を持つリプシッツ関数で近似可能であることを保証する。
• 極限空間が定数体積成長を示す場合、$\mathsf{d}(x_i,\cdot)^2 - \hat{f}_i$の$H^{1,2}$-ノルムがゼロに収束することを証明する。
• 対角線的議論を用いて、非滑らかな空間からの反例を滑らかなリーマン多様体へ拡張し、一般にスペクトル収束が失敗することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RCD$^*(K,N)$空間の系列における球上での$k$番目のディリクレ固有値が、極限空間の$k$番目の固有値に収束するための条件は何か？
• RQ2 近似空間上の$H^{1,2}_0$-固有関数の極限が、必ずしも極限空間の$H^{1,2}_0$に属するとは限らないか？
• RQ3 非自明なコーン構造を有する空間のように、幾何的制御がなければスペクトル収束が失敗する可能性は存在するか？
• RQ4 距離関数の調和的置換がスペクトル安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 メトリックコーンや定数体積成長を示す空間において、スペクトル収束は成立するか？

主な発見

• 反例として、$\lambda_1^D(B_{\pi/4}(\pi/4 - \epsilon)) \to 1 < 4 = \lambda_1^D(B_{\pi/4}(\pi/4))$（$\epsilon \to 0^+$のとき）となる例が構成され、一般に局所的スペクトル収束が成立しないことが示された。
• 極限空間が$\operatorname{RCD}^*(N-2,N-1)$-空間$Z$を底面とするメトリックコーン$C(Z)$に対して、すべての$R > 0$に対して$H^{1,2}_0(B_R(p)) = \hat{H}^{1,2}_0(B_R(p))$が成り立つため、スペクトル収束が成立する。
• 体積成長が定数である空間$\mathfrak{m}(B_r(x))/r^N$に対して、$\mathsf{d}(x_i,\cdot)^2 - \hat{f}_i$の$H^{1,2}$-ノルムがゼロに収束するため、スペクトル安定性が保証される。
• 条件$H^{1,2}_0(B_R(x)) = \hat{H}^{1,2}_0(B_R(x))$の下で、距離関数の調和的置換が$H^{1,2}$-ノルムで収束し、これによりスペクトル収束が可能になる。
• メトリックコーンにおいて、台を収縮させるリプシッツ関数による近似を用いて、$H^{1,2}_0 = \hat{H}^{1,2}_0$の等価性が証明された。
• 本稿は、極限空間が調和的置換条件を満たす場合、一般の球上でスペクトル収束が成立することを確立し、安定性の鋭い基準を提供した。