[論文レビュー] Local spectral radius formulas on compact Lie groups

Nils Byrial Andersen, Marcel de Jeu|ArXiv.org|May 26, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$G$ をコンパクトな連結リー群とするとき、複素化された普遍包あらゆる代数の中心的元が $L^p(G)$ に作用する場合の局所スペクトル半径の公式を確立する。群のユニタリ双対上のフーリエ変換を用いて、このような作用素の局所スペクトルを特徴づけることで、反復作用のスペクトル半径が関数のスペクトル的サポート上での $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$ の上限に等しいことを証明し、アーベルでないリー群への $\mathbb{R}^d$ 上の古典的結果の一般化を達成する。

ABSTRACT

We determine the local spectrum of a central element of the complexified universal enveloping algebra of a compact connected Lie group at a smooth function as an element of L^p(G). Based on this result we establish a corresponding local spectral radius formula.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^d$ における局所スペクトル半径の公式を、コンパクトリー群の $L^p$-空間へと拡張すること。
• 滑らかな関数が含まれる $L^p(G)$ 上で作用する普遍包あらゆる代数の中心的元 $D$ の局所スペクトルを特徴づけること。
• 非アーベルリー群上の非有界作用素に対する古典的スペクトル半径の公式の一般化を確立すること。
• $\widetilde{T}_{D,p}^n f$ の $L^p$-ノルムにおけるスペクトル半径が、$f$ のフーリエ変換のスペクトル的サポートによって決定されることを証明すること。

提案手法

• ユニタリ双対 $\widehat{G}$ 上のフーリエ変換を用いて、$D$ の左不変微分作用素としての作用を分析する。
• $L^p(G)$ 上での $D$ の閉拡張 $\widetilde{T}_{D,p}$ を定義し、その定義域は $Df \in L^p(G)$ を満たす関数からなるものとする。
• 各既約表現 $\pi$ における $D$ の中心的特徴 $\chi_{\bar{\pi}}(D)$ を用いて、局所リゾルベント集合 $\rho_{\widetilde{T}_{D,p}}(f)$ を $\{ \chi_{\bar{\pi}}(D) \}^{\operatorname{cl}}$ として特徴づける。
• $\operatorname{supp} {\mathcal{F}}f$ 上で $\psi_z(\pi) = \frac{{\mathcal{F}}f(\pi)}{\chi_{\bar{\pi}}(D) - z}$ の逆フーリエ変換を用いて、解析的局所リゾルベント関数を構成し、$z$ に関して解析的であることを保証する。
• 包含関係による議論を通じて、局所スペクトルが $\sigma_{\widetilde{T}_{D,p}}(f) = \{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}^{\operatorname{cl}}$ に等しいことを証明する。
• $\| \widetilde{T}_{D,p}^n f \|_p^{1/n}$ を、スペクトル的サポート上での最大スペクトル値 $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$ を用いて評価することで、スペクトル半径の公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトリー群上の $L^p$-空間における中心的微分作用素に対して、局所スペクトル半径の公式が成立するか。
• RQ2 このような作用素の局所スペクトルは、関数のフーリエ変換とどのように関係しているか。
• RQ3 作用素 $D$ の反復作用のスペクトル半径は、$f$ のスペクトル的サポート上での中心的特徴 $\chi_{\bar{\pi}}(D)$ を用いて表現可能か。
• RQ4 $\widetilde{T}_{D,p}$ の局所スペクトルは、$\{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}$ の閉包によって決定されるか。
• RQ5 すべての $1 \leq p \leq \infty$ に対して、$\mathbb{R}^d$ 上で既知の結果（$p=1$ から拡張されたもの）を含む、局所スペクトル半径の公式が成立するか。

主な発見

• 滑らかな関数 $f \in L^p(G)$ における $\widetilde{T}_{D,p}$ の局所スペクトルは、$\sigma_{\widetilde{T}_{D,p}}(f) = \{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}^{\operatorname{cl}}$ で与えられ、ここで $\chi_{\bar{\pi}}(D)$ は $\pi$ における $D$ の中心的特徴である。
• 局所スペクトル半径の公式が成立する：$\lim_{n \to \infty} \| \widetilde{T}_{D,p}^n f \|_p^{1/n} = \sup \{ |\chi_{\bar{\pi}}(D)| : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}$。
• 証明は、$\psi_z(\pi) = \frac{{\mathcal{F}}f(\pi)}{\chi_{\bar{\pi}}(D) - z}$ の逆フーリエ変換を用いて解析的局所リゾルベント関数を構成することに依拠しており、これは $\widehat{G}$ 上のシュワーツ空間に属し、$C^\infty(G)$ 内で正しく定義された解析的族を導く。
• $\| \widetilde{T}_{D,p}^n f \|_p$ の $L^p$-ノルムは、$\left( \sup \{ |\chi_{\bar{\pi}}(D)| : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \} \right)^n$ の定数倍で抑えられ、スペクトル半径の上界が確立される。
• 下界は、行列係数 $\| {\mathcal{F}}(\widetilde{T}_{D,p}^n f)(\pi) \| = \left|\chi_{\bar{\pi}}(D)\right|^n \| {\mathcal{F}}f(\pi) \|$ の分析により得られ、これによりスペクトル半径が各 $\pi$ に対して $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$ 以上であることが保証される。
• この結果は、$\mathbb{R}^d$ 上の古典的局所スペクトル半径の公式をコンパクトリー群へ一般化したものであり、フーリエ変換の役割がユニタリ双対上の非可換フーリエ変換に置き換えられている。