[論文レビュー] Local Stable and Unstable Manifolds for Anosov Families

Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双曲的挙動を示すリーマン多様体の列上の非自己同型力学系であるアノソフ族について、局所安定・不安定多様体の定理を確立する。一般化されたハダマード＝ペロンのアプローチを用い、安定・不安定分布に接する滑らかな部分多様体を構成し、それらの存在、不変性、指数的収縮・拡大、初期条件に対する連続的依存性を証明する。

ABSTRACT

Anosov families were introduced by A. Fisher and P. Arnoux motivated by generalizing the notion of Anosov diffeomorphism defined on a compact Riemannian manifold. In addition to presenting several properties and examples of Anosov families, in this paper we build local stable and local manifolds for such families.

研究の動機と目的

• 古典的な安定多様体理論を、非自己同型的・非定常的力学系に拡張する。
• 非自己同型設定における直交性の欠如と多様体間の幾何的変化を扱う。
• 適切な減衰条件の下で、許容可能な多様体が実際に安定・不安定集合と一致することを証明する。
• 全空間における初期条件に対する多様体の連続的依存性を確立する。
• 時間に依存する双曲的構造を持つ系に対するハダマード＝ペロン定理の一般化を行う。

提案手法

• コンパクトなリーマン多様体の列間の微分同相写像の族としてアノソフ族を導入し、接 bundle の一様な双曲的分解を仮定する。
• 正の数列 $\delta_n'$ と $\epsilon_n'$ を用いて、許容的ノルムおよび減衰率の族を定義し、安定・不安定多様体を定義する。
• 一般化されたハダマード＝ペロン定理を適用し、$E^s$ および $E^u$ 分布に接する滑らかな部分多様体を構成する。
• 軌道に沿った指数的収縮・拡大を保証するため、列 $\delta_n$ および $\epsilon_n$ に条件 (4.1) を課す。
• 時間的整合性を保つために、不変性の性質 $f_{n-1}^{-1}(\mathcal{N}^u) \subseteq \mathcal{N}^u$ および $f_n(\mathcal{N}^s) \subseteq \mathcal{N}^s$ を課す。
• 逐次収束の議論を用いて連続的依存性を証明し、$\mathcal{N}^r(p_m, \eta)$ 内の列の極限が $\mathcal{N}^r(p, \eta)$ に含まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的に変化する多様体と計量を伴うアノソフ族に対して、局所安定・不安定多様体を構成できるか？
• RQ2 一般化されたハダマード＝ペロン法で構成された許容可能な多様体が、どのような条件下で実際に安定・不安定集合と一致するか？
• RQ3 多様体のサイズは軌道に沿ってどのように変化するか？また、減衰率を制御可能か？
• RQ4 多様体の初期条件に対する依存性は、全空間で連続的か？
• RQ5 この枠組みは、非一様双曲的または確率的力学系へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 定理 4.6 は、$\mathbf{f}_0^n(p)$ における接空間が $E^u$ に等しい $M_n$ の滑らかな部分多様体である局所不安定多様体 $\mathcal{N}^u(p, \eta)$ の存在を確立する。
• 不安定多様体は $f_{n-1}^{-1}(\mathcal{N}^u(\mathbf{f}_0^n(p), \eta)) \subseteq \mathcal{N}^u(\mathbf{f}_0^{n-1}(p), \eta)$ を満たし、後向き不変性が保証される。
• 指数的収縮が定量的に与えられる：$q \in \mathcal{N}^u(p_{n+1}, \delta)$ に対して、$d(\mathbf{f}_{n+1}^{-(k+1)}(q), \mathbf{f}_{n+1}^{-(k+1)}(p_{n+1})) \leq \frac{2}{\Delta_{n+1}} \tilde{\lambda}^{k+1} d(q, p_{n+1})$ が成り立つ。
• $\mathcal{N}^u(p, \eta)$ は $p$ に関して連続的依存する。これはコンパクト多様体における逐次収束の議論により証明される。
• 定理 4.7 は、前向き不変性および指数的増大の制御を伴う安定多様体 $\mathcal{N}^s(p, \eta)$ について同様の結果を確立する。
• 条件 (4.1) の下で、構成された許容可能な多様体は実際に安定・不安定集合と一致し、一意性が証明される。