[論文レビュー] Local strong maximal monotonicity and full stability for parametric variational systems

Boris S. Mordukhovich, T. T. A. Nghia|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間におけるパラメトリック変分不等式系について、局所的強い最大単調性および第二階一般化微分を用いて、Lipschitz的およびHölder的全安定性の新規概念を導入し、特徴づける。正定値性に基づく第二階構成の性質を用いて、全安定性の検証可能な十分条件を確立し、事前に単調性を仮定しない既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

The paper introduces and characterizes new notions of Lipschitzian and Hölderian full stability of solutions to general parametric variational systems described via partial subdifferential and normal cone mappings acting in Hilbert spaces. These notions, postulated certain quantitative properties of single-valued localizations of solution maps, are closely related to local strong maximal monotonicity of associated set-valued mappings. Based on advanced tools of variational analysis and generalized differentiation, we derive verifiable characterizations of the local strong maximal monotonicity and full stability notions under consideration via some positive-definiteness conditions involving second-order constructions of variational analysis. The general results obtained are specified for important classes of variational inequalities and variational conditions in both finite and infinite dimensions.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間におけるパラメトリック変分不等式系（PVS）について、Lipschitz的およびHölder的全安定性の新規概念を導入し、特徴づけること。
• PVSに関連する多価写像の局所的強い最大単調性と全安定性との間の関係を確立すること。
• 第二階変分解析の道具を用いて、全安定性の検証可能で定量的な条件を導出すること。
• 単値性および解写像のLipschitz連続性に関する既存の結果を、制限的な単調性仮定を越えて拡張すること。
• 弱い制約条件付きの下で、パラメトリック変分不等式および補完性問題における全安定性の新しい十分かつ必要条件を提供すること。

提案手法

• 変分解析および一般化微分の高度な道具、特に共微分および第二階亜微分を用いる。
• Lipschitz的性質の共微分特徴づけを用いて、解写像の安定性を分析する。
• 全安定性の主要基準として、一般化された強い第二階十分条件（GSSOSC）を導入し、分析する。
• 線形化および点ごとの第二階条件を用いて、部分的MFCQ、CRCQ、LICQの下での特徴づけを導出する。
• 部分的LICQの下で、全安定性とGSSOSCが同値であることを確立し、部分的MFCQおよびCRCQの下で十分性を示す。
• 結果を変分不等式およびパラメトリック補完性問題（PVC）に適用し、具体的な例で条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前に単調性を仮定しない条件下で、パラメトリック変分不等式系の解写像が局所的に単値的かつLipschitz連続であるための条件は何か？
• RQ2 基礎となる多価写像の局所的強い最大単調性は、全安定性の概念とどのように関連するか？
• RQ3 どのような第二階一般化微分条件が、パラメトリック変分不等式系における全安定性を保証するか？
• RQ4 部分的線形独立制約条件（LICQ）の下で、一般化された強い第二階十分条件（GSSOSC）は全安定性に対して必要かつ十分か？
• RQ5 提案された安定性概念は、パラメトリック変分不等式や補完性問題といった具体的な設定で検証可能か？

主な発見

• 部分的MFCQおよびCRCQが成り立つとき、一般化された強い第二階十分条件（GSSOSC）は、解写像の全安定性の十分条件である。
• 部分的LICQの下では、GSSOSCは全安定性に対して必要かつ十分であり、鋭い特徴づけを提供する。
• GSSOSCが成り立つならば、解写像は基準点の近傍で単値的かつLipschitz連続な局所化を有する。
• 従来の研究を改善し、制限的な単調性仮定を排除し、[9, 21]および[19]を超えて十分条件を拡張する。
• 例6.4において、GUSOSCは成立するがSCOCは成立しないことから、GSSOSCが古典的最適性条件を厳密に上回ることを示している。
• 本稿は、初期データの単調性を仮定しない場合でも、全安定性が局所的単値性およびLipschitz連続性を意味することを確立している。