[論文レビュー] Local structure of singular hyperkahler quotients

Maxence Mayrand|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、特異なハイパーケーラー商に関し、Sjamaar-Lermanの区分化のハイパーケーラー版を確立し、それが滑らかなシンプレクティックな層に分解され、自然な複素シンプレクティックGIT商と局所的にバイホロモルフィックであることを証明している。また、ホロモルフィックポアソン構造と整合的である。本研究は、ハイパーケーラー商構成法と複素シンプレクティック幾何学を用いて、特異的かつハイパーケーラー的状況におけるMarsden-Weinsteinの還元枠組みを拡張する。

ABSTRACT

When a compact Lie group acts freely and in a Hamiltonian way on a symplectic manifold, the Marsden-Weinstein theorem says that the reduced space is a smooth symplectic manifold. If we drop the freeness assumption, the reduced space might be singular, but Sjamaar-Lerman (1991) showed that it can still be partitioned into smooth symplectic manifolds which fit together nicely in the sense that they form a stratification. In this paper, we prove a hyperkahler analogue of this statement, using the hyperkahler quotient construction. We also show that singular hyperkahler quotients are complex spaces which are locally biholomorphic to affine complex-symplectic GIT quotients with biholomorphisms that are compatible with natural holomorphic Poisson brackets on both sides.

研究の動機と目的

• シンプレクティック幾何学におけるSjamaar-Lermanの区分化定理をハイパーケーラー幾何学へ拡張すること。
• 非自由な群作用下での特異なハイパーケーラー商の局所的構造を分析すること。
• これらの商が、アフィン複素シンプレクティックGIT商と局所的に同型な複素空間であることを確立すること。
• 局所的なバイホロモルフィズムが、両側の自然なホロモルフィックポアソン括弧を保存することを証明すること。
• 特異な状況におけるMarsden-Weinstein還元のハイパーケーラー的類似を提供すること。

提案手法

• コンパクトなリー群のハミルトニアン作用の下で、ハイパーケーラー商構成法を用いて還元空間を定義する。
• Sjamaar-Lermanの区分化フレームワークをハイパーケーラー的状況に適用し、各層が滑らかなシンプレクティック多様体であることを示す。
• 複素シンプレクティック幾何学を用いて、特異なハイパーケーラー商の局所的構造を分析する。
• 特異なハイパーケーラー商とアフィン複素シンプレクティックGIT商との間の局所的バイホロモルフィズムを確立する。
• これらのバイホロモルフィズムが、両側の自然なホロモルフィックポアソン括弧と整合的であることを検証する。
• ハイパーケーラー構造を活用して、還元空間におけるシンプレクティック構造と複素構造の関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sjamaar-Lermanの区分化は、ハイパーケーラー的状況へどのように一般化できるか？
• RQ2 特異なハイパーケーラー商の局所的複素解析的構造は何か？
• RQ3 特異なハイパーケーラー商は、局所的にアフィン複素シンプレクティックGIT商とバイホロモルフィックか？
• RQ4 特異なハイパーケーラー商と複素シンプレクティックGIT商との間の局所的バイホロモルフィズムは、ホロモルフィックポアソン括弧を保存するか？
• RQ5 ハイパーケーラー商構成法は、ハミルトニアン商の特異性をどのように解消するか？

主な発見

• 特異なハイパーケーラー商は、シンプレクティックな状況におけるSjamaar-Lerman定理と類似した、滑らかなシンプレクティック多様体への区分化を持つ。
• 特異なハイパーケーラー商は複素空間であり、アフィン複素シンプレクティックGIT商と局所的にバイホロモルフィックである。
• 商とGIT商との間の局所的バイホロモルフィズムは、両者の自然なホロモルフィックポアソン括弧と整合的である。
• ハイパーケーラー商構成法は、ハミルトニアン群作用における特異性の解消のための自然な枠組みを提供する。
• 商の局所的構造は複素シンプレクティック幾何学に支配され、ハイパーケーラー構造が複素構造とシンプレクティック構造の間の整合性を保証する。
• 本研究は、特異な状況におけるMarsden-Weinstein定理のハイパーケーラー的類似を確立し、シンプレクティック還元の適用範囲を非自由作用へ拡張した。