[論文レビュー] Local structure of singular profiles for a Derivative Nonlinear Schrödinger Equation

Yuri Cher, Gideon Simpson+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$L^2$-超臨界の微分非線形シュレーディンガー方程式（gDNLS）における特異的プロファイルの局所構造を、漸近解析と数値継続法を用いて調査する。特徴的な爆発プロファイル $Q$ 及びそのパラメータ $a$、$b$、および $\mathrm{Re}(Q)$ を臨界に近い状況で導出し、$\sigma \to 1^+$ のとき $a \to 0$ となることを示した。数値的に $a$ と $b$ を正確に計算するため、ニュートン解法とリチャードソン補外を用いた。

ABSTRACT

The Derivative Nonlinear Schrödinger equation is an $L^2$-critical nonlinear dispersive equation model for Alfvén waves in space plasmas. Recent numerical studies on an $L^2$-supercritical extension of this equation provide evidence of finite time singularities. Near the singular point, the solution is described by a universal profile that solves a nonlinear elliptic eigenvalue problem depending only on the strength of the nonlinearity. In the present work, we describe the deformation of the profile and its parameters near criticality, combining asymptotic analysis and numerical simulations.

研究の動機と目的

• 臨界に近い状況における $L^2$-超臨界の微分非線形シュレーディンガー方程式（gDNLS）の爆発解の局所的構造を理解すること。
• 非線形性の強さ $\sigma$ が臨界値 $\sigma = 1$ に近づくにつれて、爆発プロファイル $Q$ 及びそのパラメータ（$a$、$b$）がどのように変形するかを特定すること。
• 初期条件が異なる場合にも普遍的となるプロファイル $Q$ を、数値的に非線形固有値問題を解くことで確立すること。
• リチャードソン補外を用いて $a$ と $b$ の数値的精度を向上させ、既存のソルバーとの妥当性を検証すること。

提案手法

• 爆発プロファイル $Q$ の非線形固有値問題を、スパース直接線形ソルバーを用いたニュートン法で、均等メッシュ上で解く。
• 問題を $W(x) = Q(-x)$ と変換することで、原点における対称性と連続性を扱い、$[0, x_{\max}]$ 上で解けるようにする。
• 空間微分には2次精度中心差分を実装し、遠方境界条件を漸近的減衰挙動により強制する。
• 原点における対称性と反対称性を強制し、$|Q|$ の最大値を $x=0$ に位置づけるために、ゼロ位相条件 $v_0 = 0$ を課す。
• $\sigma$ に関する継続法を用い、$\sigma = 2$ から始め、段階的に減少させる。$\sigma_{j-1}$ における解を $\sigma_j$ の初期推定値として用いる。
• 収束順序を向上させるためにリチャードソン補外を適用し、$a^{\text{Rich.}} = \frac{4}{3}a^{\Delta x/2} - \frac{1}{3}a^{\Delta x}$ を用い、$\sigma$ 値間で立方スプライン補間を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界に近い状況 $\sigma \to 1^+$ において、$L^2$-超臨界のgDNLS方程式における爆発プロファイル $Q$ 及びそのパラメータ $a$、$b$ はどのように変化するか？
• RQ2 数値的シミュレーションが示唆するように、異なる初期条件に対しても爆発プロファイル $Q$ は普遍的であるか？
• RQ3 臨界に近い状況 $\sigma \approx 1$ において、$Q$ を解明するにあたり生じる数値的課題は何か？ また、それらをどのように緩和できるか？
• RQ4 特に原点付近および遠方領域における、$Q$ の振幅と位相の振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 リチャードソン補外は、計算されたパラメータ $a$ と $b$ の精度をどの程度向上させ得るか？

主な発見

• 爆発プロファイル $Q$ は普遍的であり、初期条件に依存しない。$b$ を適切に選べば、その最大振幅は原点に位置する。
• パラメータ $a$ は $\sigma \to 1^+$ のとき $a \to 0$ に近づく。これは、臨界に近づくにつれて爆発プロファイルのスケール長が縮小することを示しており、臨界性と整合的である。
• 数値的解法により、$\sigma = 1.044$ まで計算可能であったが、$a \to 0$ に伴い $\Delta x \ll a$ が必要となるため、その値が制限要因となった。
• 遠方領域ではプロファイル $Q$ が $10^{-300}$ 未満まで減衰し、倍精度浮動小数点数値の限界に達していた。
• リチャードソン補外により、$a$ と $b$ の収束順序が著しく向上し、BVP_SOLVER-2 との比較により結果の妥当性が確認された。
• 継続法により、$\sigma = 2$ から $\sigma = 1.044$ までプロファイルを追跡可能であった。臨界に近づくに従い、ステップサイズを適応的に $\Delta\sigma = 0.00078125$ まで縮小した。