[論文レビュー] Local Systems of Vertex Operators, Vertex Superalgebras and Modules

Haisheng Li|ArXiv.org|Jun 28, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形代数における自己準同型環のカテゴリカルな類似物として「局所的頂点演算子系」の概念を導入し、任意のこのような系に自然な頂点（超）代数構造を定める。また、V-加群が、頂点演算子超代数Vから加群空間上の局所的系へのホモーレジズムとちょうど一致することを証明し、この枠組みを用いてアフィン代数の標準的加群に対する頂点演算子超代数の有理型を示し、加群準同型の一般化として一般化相互作用演算子を定義する。

ABSTRACT

We give an analogue for vertex operator algebras and superalgebras of the notion of endomorphism ring of a vector space by means of a notion of ``local system of vertex operators'' for a (super) vector space. We first prove that any local system of vertex operators on a (super) vector space $M$ has a natural vertex (super)algebra structure with $M$ as a module. Then we prove that for a vertex (operator) superalgebra $V$, giving a $V$-module $M$ is equivalent to giving a vertex (operator) superalgebra homomorphism from $V$ to some local system of vertex operators on $M$. As applications, we prove that certain lowest weight modules for some well-known infinite-dimensional Lie algebras or Lie superalgebras have natural vertex operator superalgebra structures. We prove the rationality of vertex operator superalgebras associated to standard modules for an affine algebra. We also give an analogue of the notion of the space of linear homomorphisms from one module to another for a Lie algebra by introducing a notion of ``generalized intertwining operators.'' We prove that $G(M^{1},M^{2})$, the space of generalized intertwining operators from one module $M^{1}$ to another module $M^{2}$ for a vertex operator superalgebra $V$, is a generalized $V$-module. Furthermore, we prove that for a fixed vertex operator superalgebra $V$ and

研究の動機と目的

• ベクトル空間の自己準同型環に類似した頂点演算子代数のカテゴリカルな枠組みを構築すること。
• V-加群と、加群空間上の局所的頂点演算子系へのVからの代数的ホモーレジズムとの間の対応を確立すること。
• 頂点演算子超代数の加群準同型の一般化として「一般化相互作用演算子」を導入すること。
• アフィンリー代数の標準的加群に関連する頂点演算子超代数の有理型を証明すること。
• 無限次元リー（超）代数の最低重量加群に自然な頂点（超）代数構造を与えること。

提案手法

• （超）ベクトル空間M上の局所的頂点演算子系を、状態-場の対応に関して閉じており、局所性を満たす頂点演算子の集合として定義する。
• 任意のM上の局所的頂点演算子系が、Mを加群とする自然な頂点（超）代数構造をもつことを証明する。
• V-加群と、M上の局所的頂点演算子系へのVからの頂点（超）代数ホモーレジズムとの間の一対一対応を確立する。
• 2つのV-加群M¹とM²間の一般化相互作用演算子の空間G(M¹, M²)を導入し、これが一般化されたV-加群構造をもつことを証明する。
• この枠組みを用いて、よく知られたリー（超）代数の最低重量加群に頂点演算子超代数構造を構成する。
• 理論を応用して、アフィンリー超代数の標準的加群から生じる頂点演算子超代数の有理型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己準同型環の概念を頂点演算子代数および超代数の文脈にどのように一般化できるか。
• RQ2 V-加群と、加群空間上の局所的頂点演算子系へのVからのホモーレジズムとの間の正確な対応関係は何か。
• RQ3 2つのV-加群間の一般化相互作用演算子は、一般化されたV-加群構造をもたせるか。
• RQ4 無限次元リー（超）代数のどの最低重量加群が自然な頂点（超）代数構造をもつか。
• RQ5 アフィンリー代数の標準的加群に関連する頂点演算子超代数の有理型を保証する条件は何か。

主な発見

• 任意の（超）ベクトル空間M上の局所的頂点演算子系は、Mを加群とする自然な頂点（超）代数構造をもつ。
• MにV-加群構造を与えることは、M上の局所的頂点演算子系へのVからの頂点（超）代数ホモーレジズムを指定することに等しい。
• 2つのV-加群M¹とM²間の一般化相互作用演算子の空間G(M¹, M²)は一般化されたV-加群である。
• アフィンカク＝ムーディ代数に関連するような、よく知られた無限次元リー（超）代数の一部の最低重量加群は、自然な頂点演算子超代数構造をもつ。
• アフィンリー代数の標準的加群に関連する頂点演算子超代数は有理型である。
• この枠組みにより、頂点演算子超代数の文脈における加群および相互作用演算子の構成と分類を体系的に行う手法が提供される。