[論文レビュー] Local systems with quasi-unipotent monodromy at infinity are dense

Hélène Esnault, Moritz Kerz|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、正規な複素代数的多様体の基本群のG-表現のモジュライ空間において、無限遠で準単調なモノドロミーをもつ局所系がザリスキー稠密であることを証明する。ガロア群の完備化上の作用とデ・ジョンのフロベニウス準同型を用いたテクニックを用いて、このような表現の稠密性を確立し、算術幾何におけるより広範な稠密性予想に対する証拠を提供するとともに、フォンタイン＝マザール予想およびシンプソンの予想と関連付ける。

ABSTRACT

We show that complex local systems with quasi-unipotent monodromy at infinity over a normal complex variety are Zariski dense in their moduli. v2: we waited for feedback and added a consequence of Alexandr Petrov's theorem. 3: we tightened the last section. Final version: appears in Israel Journal of Mathematics. footnote added to Conjecture 1.1: Aaron Landesman and Daniel Litt just made available a preprint showing that there is a lower bound for the rank of geometric local systems with infinite mon-odromy on certain curves, and consequently the conjecture can not be true in this generality.

研究の動機と目的

• 基本群のG-表現のモジュライ空間において、無限遠で準単調モノドロミーをもつG-表現のザリスキー稠密性を確立すること。
• 幾何的起源の表現がキャラクター多様体においてザリスキー稠密であるという稠密性予想に対する証拠を提供すること。
• この稠密性結果を、算術的または幾何的条件によって定義される特別な部分多様体に拡張し、フォンタイン＝マザール予想およびシンプソンの「剛性 ⇒ モチーフ的」予想と関連付けること。
• ガロア群の作用とフロベニウス準同型を用いて、キャラクター多様体の算術的または特別な部分スキームにこの稠密性結果を一般化すること。

提案手法

• フレームドキャラクター多様体の完備化上の絶対ガロア群の作用を用いて、モノドロミーの振る舞いを分析する。
• デ・ジョンのテクニックをフロベニウス準同型を用いて、形式的近傍内に準単調モノドロミーをもつ点を構成する。
• サイクロトミック特徴子を用いて、無限遠におけるモノドロミー情報上のガロア作用を記述する。
• 平坦性およびダウンの定理を用いて、剰余体上の点を一般点へと持ち上げ、ザリスキー稠密性を保証する。
• スケマティック像と平坦準同型を用いて、問題を局所的完備交差に還元する。
• 関連研究で示されたように、リーマン＝ヒルベルト対応およびゲルフォンド＝シュナイダーの定理を代替的手段として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規な複素代数的多様体の基本群のG-表現のモジュライ空間において、無限遠で準単調モノドロミーをもつ局所系はザリスキー稠密か？
• RQ2 幾何的起源の表現の集合は、線型代数的群Gのキャラクター多様体においてザリスキー稠密な部分集合をなすか？
• RQ3 稠密性結果を全キャラクター多様体から、算術的または幾何的条件によって定義される特別な部分多様体に拡張できるか？
• RQ4 キャラクター多様体の形式的完備化上のガロア作用は、無限遠におけるモノドロミー性質とどのように関係するか？
• RQ5 準単調モノドロミー表現の稠密性は、フォンタイン＝マザール予想またはシンプソンの「剛性 ⇒ モチーフ的」予想をどの程度支持するか？

主な発見

• G-表現のうち、無限遠で準単調モノドロミーをもつものは、フレームドキャラクター多様体Ch□_G,C(π)においてザリスキー稠密である。
• 証明は、キャラクター多様体の形式的完備化上のガロア群の作用、特にサイクロトミック特徴子によるものに依存する。
• デ・ジョンのテクニックにより、(q−1)- torsion 点が形式的近傍内に存在し、それが一般点へと写像されつつ準単調性を保つことが保証される。
• 稠密性結果は、Galois群の開部分群によって安定化される特別な部分スキームZ ⊂ ChGLr,C(π)に対しても拡張可能である。
• 0次元の特別な部分スキームに対しては、この予想はシンプソンの「剛性 ⇒ モチーフ的」予想を含み、相対的フォンタイン＝マザール予想によっても含意される。
• 本結果は、幾何的起源の表現の稠密性に関する算術的・幾何的視点を提供し、算術幾何におけるより広範な予想を支持する。