[論文レビュー] Local theta-regulators of an algebraic number -- p-adic Conjectures

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

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ひとこと要約

本稿は、Galois拡張 K/Q における代数的数 η に対して局所的 θ-正規化子 ∆θ_p(η) を導入し、表現論を用いて p-進正規化子と関連付ける。大規模な p に対して、正規化された p-進正規化子 Reg^G_p(η) が p-進単数であるか、p^ϕ(1) でしか割り切れないことを、確率的ヒューリスティクスとコhomオロジー的証拠に基づいて予想する。この予想は、大規模な p に対して数体の p-有理性を示す。

ABSTRACT

Let K/Q be Galois and let eta in K* be such that the multiplicative Z[G]-module generated by eta is of Z-rank n.We define the local theta-regulators Delta\_p^theta(eta) in F\_p for the Q\_p-irreducible characters theta of G=Gal(K/Q). Let V\_theta be the theta-irreducible representation. A linear representation L^theta=delta.V\_theta is associated withDelta\_p^theta(eta) whose nullity is equivalent to delta$\ge$1 (Theorem 3.9). Each Delta\_p^theta(eta) yields Reg\_p^theta(eta) modulo p in the factorization $\prod$\_theta (Reg\_p^theta(eta))^phi(1) of Reg\_p^G(eta) := Reg\_p(eta)/p^[K : Q] (normalized p-adic regulator), where phi divides theta is absolutely irreducible.From the probability Prob(Delta\_p^theta(eta) = 0 \& L^theta=delta.V\_theta)$\le$p^(-f.delta^2) (f= residue degree of p in the field of values of phi) and the Borel--Cantelli heuristic, we conjecture that, for p large enough, Reg\_p^G(eta) is a p-adic unit or that p^phi(1) divides exactly Reg\_p^G(eta) (existence of a single theta with f=delta=1); this obstruction may be lifted assuming the existence of a binomial probability law (Sec. 7) confirmed through numerical studies (groups C\_3, C\_5, D\_6). This conjecture would imply that, for all p large enough, Fermat quotients of rationals andnormalized p-adic regulators are p-adic units (Theorem 1.1), whence the fact that number fields are p-rational for p extgreater{} extgreater{}0. We recall \S8.7 some deep cohomological results, which may strengthen such conjectures.

研究の動機と目的

• Galois拡張 K/Q に属する代数的数 η に対して、F_p に値をとる局所的 θ-正規化子 ∆θ_p(η) を定義すること。
• 表現論およびGaloisモジュール構造を用いて、p-進正規化子 Reg^G_p(η) を分析すること。
• 確率的およびコhomオロジー的ヒューリスティクスに基づき、大規模な p に対して Reg^G_p(η) が p-進単数であるか、p^ϕ(1) でしか割り切れないことを予想すること。
• Leopoldt–Jaulent予想および数体の p-有理性に関する広範な予想と関連付けること。

提案手法

• G = Gal(K/Q) の Q_p-特徴表 θ に関連する F_p における不変量として、局所的 θ-正規化子 ∆θ_p(η) を定義する。
• δ ≥ 1 が正規化子の核の次元を測るとして、∆θ_p(η) から線形表現 L_θ ≃ δ V_θ を構成する。
• 正規化された p-進正規化子を ∏_θ (Reg^θ_p(η))^{ϕ(1)} と因数分解する。ただし ϕ | θ は絶対的単純である。
• 確率境界 p^{−fδ^2} (f = 残差次数) を用いた Borel–Cantelli ヒューリスティクスを用いて、p-整除性の可能性を推定する。
• Heuristic 7.4 の二項確率モデルを適用し、Reg^G_p(η) ≡ 0 mod p となる確率が O(1/p^{log²p / log c₀(η)}) であることを示す。
• G = C₃, C₅, D₆ に対して数値的証拠を提示し、Bloch–Kato や Voevodsky のコhomオロジー的結果を用いて予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化された p-進正規化子 Reg^G_p(η) は、局所的 θ-正規化子 ∆θ_p(η) に関してどのように構造を持つのか。
• RQ2 Reg^G_p(η) が p で割り切れる条件は何か。また、大規模な素数 p に対してその現れ方はどの程度か。
• RQ3 Borel–Cantelli ヒューリスティクスを用いて、p | Reg^G_p(η) を満たす素数 p が有限個であることを予測できるか。その適用の障害は何か。
• RQ4 局所的 θ-正規化子 ∆θ_p(η) は、一般化されたフェルマー商 α_p(η) のGaloisモジュール構造とどのように関係するか。
• RQ5 コhomオロジー的結果（例：Bloch–Kato や Voevodsky）は、T_p が有限であるという予想、したがって p-有理性を示すためにどの程度支持するか。

主な発見

• 大規模な p に対して、Reg^G_p(η) ≡ 0 mod p となる確率は、c₀(η) = max_σ |η^σ| および e⁻¹ ≤ C∞(η) ≤ 1 を用いて、C∞(η)/p^{log²p / log c₀(η)} − O(1) 以下である。
• Heuristic 7.4 および Borel–Cantelli 原理に基づくと、p | Reg^G_p(η) を満たす素数 p の個数は有限である。
• Borel–Cantelli を適用する際の唯一の障害は、Reg^G_p(η) ∼ p^{ϕ(1)}（単数を除いて）となる場合であり、その確率は最大で O(1/p) である。これは θ 成分における δ = f = 1 に起因する。
• G = C₃, C₅, D₆ に対する数値的検証は、二項確率モデルを確認し、p-整除性の有限性に関する予想を支持する。
• Bloch–Kato や Voevodsky のコhomオロジー的結果は、m ≥ 1 に対して H²(G_S(K), Z_p(m)) が有限であることを示唆し、T_p が有限で K が大規模な p に対して p-有理的であるという予想を支持する。
• この予想は、すべての p ≫ 0 に対して有理数および数体の正規化された p-進正規化子が p-進単数であることを示し、したがって大規模な p に対して数体が p-有理的であることを示す。