[論文レビュー] Local time on the exceptional set of dynamical percolation, and the Incipient Infinite Cluster

Alan Hammond, Gábor Pete+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Aug 19, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、三角格子またはZ²における動的臨界パーコレーションの際、原点が無限大クラスタに属する例外的時刻における局所的時間測度を導入する。その測度に関して、典型な例外的時刻では構成がケステンの初期無限クラスタ（IIC）の法則に従うが、最初の例外的時刻ではその法則がIICとは異なることを示している。本研究は、静的および動的指数の間のケステンの近臨界関係の動的類似を確立する。

ABSTRACT

In dynamical critical site percolation on the triangular lattice or bond percolation on \Z^2, we define and study a local time measure on the exceptional times at which the origin is in an infinite cluster. We show that at a typical time with respect to this measure, the percolation configuration has the law of Kesten's Incipient Infinite Cluster. In the most technical result of this paper, we show that, on the other hand, at the first exceptional time, the law of the configuration is different. We also study the collapse of the infinite cluster near typical exceptional times, and establish a relation between static and dynamic exponents, analogous to Kesten's near-critical relation.

研究の動機と目的

• 動的パーコレーションにおける原点が無限大クラスタに属する例外的時刻の集合に、局所的時間測度を定義し、その分析を行うこと。
• この測度に関して、典型な例外的時刻における構成がケステンの初期無限クラスタ（IIC）の法則に従うかどうかを調査すること。
• 最初の例外的時刻（FET）における構成の法則がIICと同等かどうかを特定すること。
• 静的および動的臨界指数の間の関係を確立し、ケステンの近臨界関係に類似した関係を導出すること。

提案手法

• 動的パーコレーションにおける原点が無限大クラスタに属する例外的時刻の集合に、局所的時間測度を導入する。
• 離散フーリエ解析とサイズバイアス化技術を用いて、例外的時刻における構成の法則を分析する。
• RSWおよびFKG不等式を用いて、中空領域における回路形成を分析し、接続確率の減衰を制御する。
• 再帰的手順を用いて、例外的時刻付近での接続の崩壊を分析し、幾何確率変数による確率的支配を導出する。
• ベイズの定理と準乗法的境界を用いて、IIC測度とその有限体積条件付き分布を比較する。
• 接続が途切れるまでの到達する中空領域の数に対する指数的尾部境界を確立し、接続の崩壊速度を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的時間測度に関して、典型な例外的時刻における構成が初期無限クラスタ（IIC）の法則に従うか？
• RQ2 最初の例外的時刻（FETIC）における構成の法則はIICと等しいか？
• RQ3 例外的時刻付近で、原点から遠方スケールへの接続はどのように崩壊するか？
• RQ4 動的パーコレーションにおける静的臨界指数と動的指数の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 局所的時間測度を用いて、動的設定におけるIICを特徴づけられるか？

主な発見

• 局所的時間測度に関して典型な例外的時刻では、構成がケステンの初期無限クラスタ（IIC）の法則に従う。
• 最初の例外的時刻（FETIC）における構成の法則はIICと等しくないことが示され、典型な時刻と最初の時刻との間には根本的な違いがあることが明らかになった。
• 例外的時刻付近で接続が途切れるまでの二進中空領域の数は、幾何確率変数の和による確率的支配を受けるため、指数的尾部減衰を示す。
• 原点が距離rまで時間tまで接続を維持する確率は、十分に小さいtに対してexp(−c log(1/t))の速度で減衰することが示され、急速な崩壊が裏付けられた。
• ケステンの近臨界関係の動的類似が確立され、静的および動的臨界指数の関係が結びつけられた。
• 局所的時間測度は、IICの自然な動的特徴づけを提供し、それが典型な例外的状態における出現を確認した。