[論文レビュー] Local times for continuous paths of arbitrary regularity

Donghan Kim|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限の $p$ 階変動をもつ連続関数に対する連続的経路的 $p$ 階局所時刻の新しい概念を導入し、$C^{(p-2)}$ 関数に対する一般化された Itô-Tanaka 公式を可能にする。高階の Tanaka-Meyer 公式を確立し、衝突局所時刻を用いて順序付き関数を分析する一方で、分数 Browm運動の経路に対するより自然な局所時刻定義を提案する。

ABSTRACT

We study a continuous pathwise local time of order p for continuous functions with finite p-th variation along a sequence of time partitions, for even integers p >= 2. With this notion, we establish a Tanaka-type change of variable formula, as well as Tanaka-Meyer formulae. We also derive some identities involving this high-order pathwise local time, each of which generalizes a corresponding identity from semimartingale theory. We then use collision local times between multiple functions of arbitrary regularity, to study the dynamics of ranked continuous functions of arbitrary regularity. We present also another definition of pathwise local time which is more natural for fractional Brownian Motions, and give a connection with the previous notion of local time.

研究の動機と目的

• 有限の $p$ 階変動をもつ連続関数に対する、$p \geq 2$ を偶数とする分割の系列に沿った経路的 $p$ 階局所時刻を定義すること。
• この新しい局所時刻を用いて、$C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ に属する関数に対する Itô-Tanaka 公式を拡張し、古典的な半マルティンゲール結果を一般化すること。
• 経路的局所時刻を含む高階の Tanaka-Meyer 公式および恒等式を導出し、半マルティンゲール恒等式を一般化すること。
• 経路の粗さに起因する衝突局所時刻を用いて、任意の正則性をもつ順序付き連続関数のダイナミクスを分析すること。
• 分数 Browm運動の経路に対する、より自然な定義の第二の経路的局所時刻を提案し、主な定義と比較すること。

提案手法

• ネストされた分割の系列 $\pi_n$ 沿いに経路的 $p$ 階変動を定義し、$\lim_{n\to\infty} \text{osc}(S, \pi_n) = 0$ および離散測度 $\mu^n$ の弱収束を要求する。
• $p$ 階テイラー展開に基づく離散局所時刻の一様極限として、連続的経路的局所時刻 $\mathscr{L}^{p,c}$ を定義する。
• 滑らか化された微分の二重極限による修正 Föllmer 積分を定義し、正則性が低い関数に対しても積分を可能にする。
• 一般化された Itô-Tanaka 公式を導出：$ f(S(t)) - f(S(0)) = \int_0^t f'(S(u)) dS(u) + \frac{1}{(p-1)!} \int_\mathbb{R} \mathscr{L}_t^{p,c}(x) df^{(p-1)}(x) $ は、$f \in C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ かつ $f^{(p-1)}$ が有界 Variation で右連続である場合に有効である。
• $m$ 個の連続関数間の衝突局所時刻を用いて、$k$ 番目の順序付き関数 $X_{(k)}$ を元の積分、衝突項、粗さに起因する交差項の和として表現する。
• 占有密度の公式を用いた第二の局所時刻 $\mathscr{L}^{p,c}$ の定義を提案するが、これは元の定義より弱いが、分数 Browm運動の経路にはより適している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の $p$ 階変動をもつ連続関数に対して、$p \geq 2$ を偶数として、一貫した経路的 $p$ 階局所時刻を定義する方法は何か？
• RQ2 このような局所時刻を用いて、$C^{(p-2)}$ 関数に対する Itô-Tanaka 公式を一般化できるか？ その有効性を保証する条件は何か？
• RQ3 経路的局所時刻を含む高階の恒等式は、既知の半マルティンゲール恒等式をどのように一般化するか？
• RQ4 有限の $p$ 階変動をもつ順序付き連続関数のダイナミクスは、衝突局所時刻を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 占有密度に基づく新しい局所時刻定義は、元の経路的局所時刻とどのように比較できるか？ 特に分数 Browm運動に対しては？

主な発見

• 新しい経路的局所時刻 $\mathscr{L}^{p,c}$ は、$p$ 階テイラー展開に基づく離散局所時刻の一様極限として定義され、経路的・非確率的構成を保証する。
• 一般化された Itô-Tanaka 公式は、$f \in C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ かつ $f^{(p-1)}$ が有界 Variation で右連続である場合に成り立ち、$ f(S(t)) - f(S(0)) = \int_0^t f'(S(u)) dS(u) + \frac{1}{(p-1)!} \int_\mathbb{R} \mathscr{L}_t^{p,c}(x) df^{(p-1)}(x) $ として表現される。
• 滑らか化された微分の二重極限として定義される修正 Föllmer 積分により、正則性が低い $f$ に対しても積分 $\int_0^t f'(S(u)) dS(u)$ が適切に定義可能である。
• $m$ 個の有限の $p$ 階変動をもつ連続関数の間で、$k$ 番目の順序付き関数 $X_{(k)}$ のダイナミクスは、元の関数の積分、衝突局所時刻項、粗さに起因する交差項の和として表現される。
• 占有密度の公式を用いた第二の局所時刻定義 $\mathscr{L}^{p,c}$ を提案するが、これは元の定義より弱いが、分数 Browm運動の経路にはより自然である。
• 二つの局所時刻定義を比較すると、$L^{p,c}$ は強い（一様極限）、一方 $\mathscr{L}^{p,c}$ は弱い（分布収束）であり、Itô-Tanaka 公式が成り立つためには修正 Föllmer 積分が必要となる。