[論文レビュー] Local unitary transformation, long-range quantum entanglement, wave function renormalization, and topological order

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu+1 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Apr 22, 2010

Quantum and electron transport phenomena被引用数 50

ひとこと要約

本論文は、ギャップを持つ系における量子位相を分類するための基本的枠組みとして、局所ユニタリ（LU）変換を確立し、LU同値な状態が同じトポロジカルオーダーを持つことを示している。長距離もつれを保持したまま量子状態を単純化する波動関数の正規化スキームを導入し、ストリングネット理論の枠組みを超えて、テンソル積波動関数における固定点条件を用いてトポロジカルオーダーを分類可能であることを示している。

ABSTRACT

Two gapped quantum ground states in the same phase are connected by an adiabatic evolution which gives rise to a local unitary transformation that maps between the states. On the other hand, gapped ground states remain within the same phase under local unitary transformations. Therefore, local unitary transformations define an equivalence relation and the equivalence classes are the universality classes that define the different phases for gapped quantum systems. Since local unitary transformations can remove local entanglement, the above equivalence/universality classes correspond to pattern of long range entanglement, which is the essence of topological order. The local unitary transformation also allows us to define a wave function renormalization scheme, under which a wave function can flow to a simpler one within the same equivalence/universality class. Using such a setup, we find conditions on the possible fixed-point wave functions where the local unitary transformations have \emph{finite} dimensions. The solutions of the conditions allow us to classify this type of topological orders, which generalize the string-net classification of topological orders. We also describe an algorithm of wave function renormalization induced by local unitary transformations. The algorithm allows us to calculate the flow of tensor-product wave functions which are not at the fixed points. This will allow us to calculate topological orders as well as symmetry breaking orders in a generic tensor-product state.

研究の動機と目的

• ギャップを持つ量子位相を局所ユニタリ（LU）変換に基づく普遍的分類を定義すること。
• トポロジカルオーダーが本質的に長距離もつれのパターンであることを確立すること。
• 同じLU同値クラスに属する量子状態を単純化する波動関数の正規化スキームを開発すること。
• LU変換下での固定点条件を用いて、ストリングネット分類を一般化し、トポロジカルオーダーを分類すること。
• 一般のテンソル積状態からトポロジカルオーダーおよび対称性破れオーダーを抽出するためのアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• ギャップを持つ量子基底状態の間の同値関係を局所ユニタリ（LU）変換を用いて定義し、LU同値な状態は同じ位相に属することを示す。
• アディアバティックな時間発展演算における局所性とギャップの保存を保証するため、Lieb-Robinson限界を適用する。
• 波動関数の正規化を、長距離もつれを保持したまま波動関数を単純化するLU変換の流れとして導入する。
• グラフ上のLU不変波動関数の固定点条件を導出し、トポロジカルオーダーの分類に繋げる。
• テンソル積状態に対して、反復的にLU変換を適用することでトポロジカルオーダーおよび対称性破れオーダーを特定する正規化アルゴリズムを構築する。
• 定数深さの量子回路と連続的な局所ユニタリ時間発展演算が、位相分類の目的において物理的に同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所ユニタリ変換を用いて、ギャップを持つ系における量子位相を普遍的に分類する方法は何か？
• RQ2 長距離もつれは、トポロジカルオーダーを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 LU変換下での波動関数の正規化は、トポロジカル不変量を保持したまま量子状態をどのように単純化できるか？
• RQ4 ストリングネットモデルを超えてトポロジカルオーダーを分類する固定点条件は何か？
• RQ5 一般のテンソル積状態からトポロジカルオーダーおよび対称性破れオーダーを抽出するための体系的なアルゴリズムを開発可能か？

主な発見

• 局所ユニタリ変換は、ギャップを持つ量子基底状態の間の同値関係を定義し、LU同値な状態は同じ量子位相に属する。
• トポロジカルオーダーは本質的に長距離もつれのパターンであり、これは局所ユニタリ変換に対して不変である。
• LU変換下での波動関数の正規化は、同じ普遍性クラス内でのより単純な固定点形に状態を流れさせる。
• LU不変波動関数の固定点条件はストリングネット分類を一般化し、トポロジカルオーダーの体系的列挙を可能にする。
• 提案された正規化アルゴリズムは、一般の格子上のテンソル積状態において、トポロジカルオーダー（例：Z2）および対称性破れオーダー（例：イジング）を効果的に特定する。
• 定数深さの量子回路が、位相分類の目的において連続的局所ユニタリ時間発展演算と物理的に同等であることが示された。