[論文レビュー] Local volumes on normal algebraic varieties

Mihai Fulger|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、正則代数的多様体の双有理的修正におけるカルティエ除集合の局所体積の新しい概念を導入し、孤立特異点の体積を一般化する。局所体積関数の連続性、斉次性、対数凸性を確立し、limsupではなく極限を用いたフジタ型近似を証明し、特異点の体積が対数解消における canonical 除集合の局所体積に等しいことを示し、表面の結果を高次元に拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study a notion of volume for Cartier divisors on arbitrary blow-ups of normal complex algebraic varieties of dimension greater than one, with a distinguished point. We apply this to study a volume for normal isolated singularities, generalizing work on surfaces done by Wahl. We also compare this volume of isolated singularities to a different generalization due to Boucksom, de Fernex and Favre.

研究の動機と目的

• 正則代数的多様体上の点におけるカルティエ除集合の局所体積を定義し、研究すること。
• 孤立特異点の体積を高次元に一般化し、表面特異点からの結果を拡張すること。
• ボックスコム、デ・フェルネックス、ファーヴルが導入した別種の概念と比較すること。
• 局所体積の幾何学的および漸近的性質（消滅や対数凸性など）を調査すること。
• 局所多重度および体積の交差理論的解釈の可能性を検討すること。

提案手法

• 点 $ x $ におけるカルティエ除集合 $ D $ の局所体積を $ \mathrm{vol}_x(D) = \lim_{m\to\infty} \frac{h^1_x(mD)}{m^n/n!} $ として定義する。ここで $ h^1_x(D) = \dim H^1_{\{x\}}(X, \pi_*\mathcal{O}_{X'}(D)) $ である。
• $ \mathrm{vol}_x(D) $ がwell-definedであり、$ n $-斉次的で、$ x $ を中心とする数的同値関係に関するネロン＝セベリ空間上で連続であることを証明する。
• 凸幾何学およびフジタ近似の技法を用いて、極限が存在し、$ \limsup $ に等しいことを示し、[19] の手法を拡張する。
• 対数解消 $ \pi: (\widetilde{X},E) \to (X,x) $ において、特異点 $ (X,x) $ の局所体積を $ K_{\widetilde{X}} + E $ の体積と関連付ける。
• 点 $ x $ を中心とする例外的除集合の空間上で $ \mathrm{vol}_x $ が対数凸であることを確立するが、一般のネロン＝セベリ空間上では必ずしもそうではない。
• 漸近的コホホロジー関数およびイデアル層の階層的族を用いて、$ \mathrm{vol}_x(D) $ を局所多重度 $ \widehat{h}^1_x(\mathfrak{a}_p) $ の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ D $ が必ずしもネフ的でなく、$ x $ 上にのみ支持されていない場合に、局所体積 $ \mathrm{vol}_x(D) $ が漸近的交差理論的解釈をもつだろうか？
• RQ2 $ \mathrm{vol}_x(D) $ の定義における極限は常に $ \limsup $ に等しいだろうか？ また、本稿で扱った除集合のクラスを超えて一般化可能だろうか？
• RQ3 局所体積 $ \mathrm{vol}_x(D) $ は、射影多様体上のグローバル体積と同様に、動く自己交差数として記述可能だろうか？
• RQ4 全ネロン＝セベリ空間 $ N^1(X'/X)_{\mathbb{R}} $ において $ \mathrm{vol}_x(D) $ はどのように振る舞い、どこで消えるだろうか？
• RQ5 分数イデアル層 $ \mathcal{I} $ の局所多重度 $ \widehat{h}^1_x(\mathcal{I}) $ に、交差理論的解釈は存在するだろうか？

主な発見

• 局所体積 $ \mathrm{vol}_x(D) $ はwell-definedであり、$ n $-斉次的で、$ N^1(X'/X)_{\mathbb{R}} $ 上で連続であり、グローバル体積関数の性質を拡張する。
• $ \mathrm{vol}_x(D) $ の定義における極限が存在し、$ \limsup $ に等しい。よって $ \mathrm{vol}_x(D) = \lim_{m\to\infty} \frac{h^1_x(mD)}{m^n/n!} $ が成り立つ。これは重要な技術的問題を解決する。
• 正則な孤立特異点 $ (X,x) $ に対して、体積 $ \mathrm{vol}(X,x) $ は対数解消 $ \pi: (\widetilde{X},E) \to (X,x) $ における $ \mathrm{vol}_x(K_{\widetilde{X}} + E) $ に等しい。
• 局所体積 $ \mathrm{vol}_x(D) $ は、$ \widetilde{D} $ を正規化への引き戻しとして、すべての $ m \geq 0 $ に対して $ h^1_x(m\widetilde{D}) = 0 $ であるときにかつそのときに限り消える。
• 点 $ x $ を中心とする例外的除集合の空間上で、$ \mathrm{vol}_x $ は対数凸であるが、全ネロン＝セベリ空間上では対数凸でない可能性がある。
• 正則な孤立特異点 $ (X,x) \to (Y,y) $ に対する有限被覆 $ f $ に対して、$ \mathrm{vol}(X,x) \geq (\deg f) \cdot \mathrm{vol}(Y,y) $ が成り立つ。これは表面の結果を一般化する。