[論文レビュー] Local weak convergence and propagation of ergodicity for sparse networks of interacting processes

Daniel Lacker, Kavita Ramanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、大規模なスパースグラフ上の相互作用粒子系の局所的弱収束を確立し、グラフ収束の下でその連続的収束を示している。可換グラフ上でのエルゴード性の伝播を証明し、エラーズ–レニイと構成モデルのようなスパースランダムグラフ集合におけるグローバルおよびコンponentsレベルの経験測度の異なる極限行動を特定している。

ABSTRACT

We study the limiting behavior of interacting particle systems indexed by large sparse graphs, which evolve either according to a discrete time Markov chain or a diffusion, in which particles interact directly only with their nearest neighbors in the graph. To encode sparsity we work in the framework of local weak convergence of marked (random) graphs. We show that the joint law of the particle system varies continuously with respect to local weak convergence of the underlying graph. In addition, we show that the global empirical measure converges to a non-random limit, whereas for a large class of graph sequences including sparse Erd\{o}s-R\'{e}nyi graphs and configuration models, the empirical measure of the connected component of a uniformly random vertex converges to a random limit. Finally, on a lattice (or more generally an amenable Cayley graph), we show that if the initial configuration of the particle system is a stationary ergodic random field, then so is the configuration of particle trajectories up to any fixed time, a phenomenon we refer to as propagation of ergodicity. Along the way, we develop some general results on local weak convergence of Gibbs measures in the uniqueness regime which appear to be new.

研究の動機と目的

• マーク付き確率的グラフの局所的弱収束を用いて、大規模なスパースグラフ上の相互作用粒子系の極限挙動を分析すること。
• 基礎となるグラフの局所的弱収束の下で、粒子系の連合分布が連続的であることを確立すること。
• ランダム頂点の接続成分の経験測度とグローバル経験測度の極限挙動を特定すること。
• 可換ケイリー・グラフ上の定常エルゴード確率場である初期状態の場合に、粒子系のエルゴード性が時間経過とともに保たれる、すなわちエルゴード性の伝播を証明すること。

提案手法

• エラーズ–レニイと構成モデルグラフを含む、スパースネットワーク構造をモデル化するためにマーク付き確率的グラフの局所的弱収束を用いる。
• カップリングおよびカップリングに基づく議論を用いて、グラフ収束の下で粒子系の分布の連続性を示す。
• グローバル経験測度の極限を分析し、それが非確率的極限に収束することを証明する。
• 一様ランダム頂点の接続成分に条件づけてコンポonentレベルの経験測度を研究し、エラーズ–レニイおよび構成モデルのようなスパースグラフ系列において、それが確率的極限に収束することを示す。
• 可換ケイリー・グラフ上でエルゴード性の伝播を確立する。具体的には、任意の固定時刻までの粒子軌道の配置が時間とともに定常的かつエルゴード的であることを証明する。
• 一意性領域におけるギブス測度の局所的弱収束に関する一般結果を新たに得た。これらは本研究の主要な結果を支持するものであり、独立した興味を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となるスパースグラフの局所的弱収束の下で、相互作用粒子系の連合分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 スパースグラフ上での粒子系のグローバル経験測度の極限挙動は何か？
• RQ3 スパースグラフ系列において、一様ランダム頂点の接続成分の経験測度は、決定的極限か確率的極限に収束するか？
• RQ4 可換グラフ上での初期状態のエルゴード性が、時間経過とともにどのように保たれるか？
• RQ5 一意性領域における局所的弱収束の下で、ギブス測度にどのような一般的性質が現れるか？

主な発見

• 粒子系の連合分布は、基礎となるグラフの局所的弱収束に関して連続的に変化する。
• 大規模系の極限において、グローバル経験測度は非確率的極限に収束する。
• エラーズ–レニイおよび構成モデルのようなスパースグラフ系列において、一様ランダム頂点の接続成分の経験測度は確率的極限に収束する。
• 可換ケイリー・グラフ上では、初期状態が定常エルゴード確率場であれば、任意の固定時刻までの粒子軌道の配置は時間とともに定常的かつエルゴード的であり、エルゴード性の伝播が示される。
• 一意性領域におけるギブス測度の局所的弱収束に関する新しい一般的結果が得られ、これらは独立した興味を持つ。