[論文レビュー] Local well-posedness and instability of travelling waves in a chemotaxis model

Martin Meyries|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、非線形拡散および特異的感受性を有するキラー＝セゲルモデルにおける移動波解の局所的適切性および非線形不安定性を確立する。指数関数的重み付き空間および非有界作用素行列のスペクトル解析を用いて、臨界速度を超える波の不安定性を証明し、有界係数を伴わない完全非線形放物型系への線形化不安定性理論の拡張を達成する。

ABSTRACT

We consider the Keller-Segel model for chemotaxis with a nonlinear diffusion coefficent and a singular sensitivity function. We show the existence of travelling waves for wave speeds above a critical value, and establish local well-posedness in exponentially weighted spaces in a neighbourhood of a wave. A part of the essential spectrum of the linearization, which has unbounded coefficients on one half-axis, is determined. Generalizing the principle of linearized instability without spectral gap to fully nonlinear parabolic problems, we obtain nonlinear instability of the waves in certain cases.

研究の動機と目的

• 非線形拡散および特異的感受性を有するキラー＝セゲル系の指数関数的重み付き空間における局所的適切性を確立すること。
• 片方の半直線上で非有界係数を有する移動波まわりの線形化作用素の本質的スペクトルを分析すること、すなわち、非有界係数の存在下でも可能である。
• スペクトルギャップのない完全非線形放物型系に、線形化不安定性の原則を拡張すること。
• 特定の条件下、特に臨界閾値を超える波速度に対して、移動波の非線形不安定性を証明すること。

提案手法

• キラー＝セゲル系を移動波座標系に変換し、KPP型非線形性を有する2階常微分方程式系に還元する。
• 特異的感受性項を扱うために指数関数的重み付き関数空間を用い、波形近辺での適切性を保証する。
• 扇型性理論およびフレドホルム性を用いて、非有界係数を有する線形化作用素を分析する。
• 本質的スペクトルを関連する定数係数行列系の双曲的性質と結びつける。
• p-線形化可能性を証明し、 Hölder連続性推定を用いて、完全非線形放物型偏微分方程式への線形化不安定性の原則の一般化を達成する。
• 時間1回の写像および半群論を用い、重み付き空間における収縮写像原理により非線形不安定性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形拡散および特異的感受性を有するキラー＝セゲルモデルにおいて、フロント・パルス型移動波がどのような条件下で存在するか？
• RQ2 線形化において特異項および非有界係数が存在する状況下で、どのように局所的適切性を確立できるか？
• RQ3 片方の半直線上で係数が非有界である場合、線形化作用素の本質的スペクトルのどの部分を特徴づけられるか？
• RQ4 スペクトルギャップのない完全非線形放物型系に、線形化不安定性の原則を拡張できるか？
• RQ5 このキラー＝セゲルモデルにおける移動波の非線形不安定性を引き起こす条件は何か？

主な発見

• k(u)および特異的感受性φ(v) = χ/vに関する与えられた仮定の下で、波速度c > 2√γのとき、移動波解が存在する。
• 連続関数の指数関数的重み付き空間における局所的適切性が確立され、系の右辺が局所的にLipschitz連続なC¹導関数を有する。
• 線形化作用素の本質的スペクトルの一部は、フレドホルム性質と関連する定数係数行列系の双曲的性質を結びつけることで特定される。
• χがαに対して小さい場合、波速度が修正された臨界閾値を超えると、追加のcに関する制限を課すことで局所的適切性が成立する。
• 非有界係数を有する完全非線形放物型系への線形化不安定性の原則の拡張を用いて、特定のパrameter領域において非線形不安定性が証明される。
• 本分析は、非線形作用素のp-線形化可能性および時間におけるHölder連続性推定に依存しており、時間1回の写像が非線形不安定性の条件を満たすことを保証する。