[論文レビュー] Local well-posedness for the Maxwell-Schrödinger equation

Makoto Nakamura, Takeshi Wada|ArXiv.org|Apr 29, 2003

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、収縮写像原理を用いて、最適なソボレフ正則性空間内でのコーシー型ゲージにおけるマクスウェル＝シュレーディンガー系の局所的well-posednessを確立する。$X^{s,\tau}$ 内の初期データに対して $s \geq 5/3$ および $\sigma$ が指定された範囲にある場合、一意的かつ連続的な解が存在することを示し、シュレーディンガーハミルトニアンの自己共役性と射影技術により微分損失を克服する。さらに、ゲージ変換を用いて結果をローレンツ型および時間的ゲージへと拡張する。

ABSTRACT

Time local well-posedness for the Maxwell-Schrödinger equation in the coulomb gauge is studied in Sobolev spaces by the contraction mapping principle. The Lorentz gauge and the temporal gauge cases are also treated by the gauge transform.

研究の動機と目的

• コーシー型ゲージにおけるマクスウェル＝シュレーディンガー系の時間的局所的well-posednessを、ソボレフ空間内の初期データに対して確立すること。
• 系に内在するゲージの不確実性を、$\mathrm{div}\,\mathbf{A} = 0$ というコーシー型ゲージ条件を固定することによって解消すること。
• 非線形項 $\mathbf{A} \cdot \nabla u$ および $\mathbf{J}(u,\mathbf{A})$ の微分損失を克服することで、正則性要件を最小限に抑えること。
• ゲージ変換技術を用いて、コーシー型ゲージでのwell-posedness結果をローレンツ型および時間的ゲージへと拡張すること。
• 一意的かつ連続的な解が存在するようなソボレフ正則性インデックス $s$ および $\sigma$ の範囲を最大限に広げること。

提案手法

• 固定時間区間における収縮写像原理を適用し、$C([0,T];X^{s,\tau})$ 内での解の存在および一意性を証明する。
• コーシー型ゲージを用いてスカラー位相 $\phi$ を $\phi = (-\Delta)^{-1}|u|^2$ により分離し、$\phi$ の初期データの必要性を排除する。
• 波動方程式におけるベクトル位相 $\mathbf{A}$ を処理するために射影作用素 $P = 1 - \nabla \mathrm{div} \Delta^{-1}$ を用いる。
• シュレーディンガーハミルトニアン $\mathcal{H}(\mathbf{A})$ の自己共役性を活用し、$\|u; H^s\|$ の代わりに $\|\mathcal{H}u; H^{s-2}\|$ の推定を行うことで、微分損失を克服する。
• ゲージ変換を適用して、コーシー型ゲージからローレンツ型および時間的ゲージへの結果の拡張を行う。
• 波動伝搬作用素 $K(t) = \sin(t\omega)/\omega$ および $\dot{K}(t) = \cos(t\omega)$ を用いて、ゲージ変換におけるスカラー場 $\lambda$ を解き、正則性の伝搬を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーシー型ゲージにおけるマクスウェル＝シュレーディンガー系が一意的局所解を有する最小のソボレフ正則性 $s$ および $\sigma$ は何か？
• RQ2 低正則性領域における非線形項 $\mathbf{A} \cdot \nabla u$ および $\mathbf{J}(u,\mathbf{A})$ の微分損失はどのように制御できるか？
• RQ3 コーシー型ゲージでのwell-posedness結果をローレンツ型または時間的ゲージへと拡張できるか？
• RQ4 ベクトル位相の正則性要件 $\sigma \leq s$ を弱める役割を果たす射影 $P$ は何か？
• RQ5 初期データの $X^{s,\sigma}$ 位相において、解写像が連続となる条件は何か？

主な発見

• コーシー型ゲージにおけるマクスウェル＝シュレーディンガー系の局所的well-posednessは、$s \geq 5/3$ および $\max\{4/3, s-2, (2s-1)/4\} \leq \sigma \leq \min\{s+1, (5s-2)/3\}$ を満たす $\sigma$ に対して成立し、$(5/2,7/2)$ および $(7/2,3/2)$ のペアを除く。
• ある $T > 0$ に対して、$(u, \mathbf{A}, \partial_t \mathbf{A}) \in C([0,T]; X^{s,\sigma})$ を満たす。$T$ は $s$, $\sigma$, 初期データのノルムにのみ依存する。
• 連続的依存性は $\sigma \geq \max\{s-1, (2s+1)/4\}$ のとき成立し、$(5/2, 3/2)$ のペアを除く。
• ローレンツ型ゲージの場合は、ゲージ変換によりコーシー型ゲージに還元され、スカラー場 $\lambda$ は $\dot{H}^1 \cap \dot{H}^{\sigma+1}$ の初期データをもつ波動方程式を満たす。
• 同じ正則性仮定の下で、ローレンツ型ゲージにおける解は $(u^\mathrm{L}, \phi^\mathrm{L}, \mathbf{A}^\mathrm{L}, \partial_t \mathbf{A}^\mathrm{L}) \in C([0,T]; Y^{s,\sigma})$ を満たす。
• グローバル $X^{1,1}$ の結果（Guo-Nakamitsu-Strauss）と $s > 5/2$ の $X^{s,s}$ の結果（Nakamitsu-Tsutsumi）との間のギャップを埋め、局所的状況において最適な正則性を達成する。