[論文レビュー] Local well-posedness of Musiela's SPDE with Lévy noise

Carlo Marinelli|ArXiv.org|Apr 18, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、重み付き $L_2$-型関数空間における半群的手法を用いて、無限次元の Lévy ノイズによって駆動される Musiela の確率偏微分方程式 (SPDE) の局所的弱解の存在および一意性の十分条件を確立する。主な貢献は、ボラティリティ係数にリプシッツ連続性および成長制約を課し、Lévy 済みに可積分性条件を課すことによって得られる局所的適切性の結果である。

ABSTRACT

We determine sufficient conditions on the volatility coefficient of Musiela's stochastic partial differential equation driven by an infinite dimensional L{é}vy process so that it admits a unique local mild solution in spaces of functions whose first derivative is square integrable with respect to a weight.

研究の動機と目的

• 無限次元 Lévy ノイズによって駆動される Musiela の SPDE の局所的弱解の存在および一意性の十分条件を確立すること。
• 拡散型（ウィーナー型）ノイズの場合に比べて理論がまだ発展していないジャンプ付き SPDE に対して、半群手法を拡張すること。
• 前向金利曲線のモデリングに適した関数空間において、適切性を保証するボラティリティ係数および Lévy 済みに関する条件を同定すること。
• 多くの HJM モデルが事前に解の存在を仮定し、アービタージュや完全性に焦点を当てる一方で、SPDE の適切性に言及しない文献のギャップを埋めること。
• 従来の有限次元ケースにとどまらず、無限個の独立な確率過程を含む一般の Lévy ノイズに対しても適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 前向金利 $u(t,x)$ がヒルベルト空間値 Lévy プロセス $M$ によって駆動される確率積分に従って進化する、弱形の SPDE を半群的手法を用いて定式化する。
• 確率積分の正則性を保証するため、ボラティリティ係数 $\sigma$ にリプシッツ連続性および線形成長条件を課す。
• 弱解の定式化における確率的畳み込み項を制御するために、Burkholder 型の最大不等式を適用する。
• 一階微分が重み $\alpha$ を用いて平方可積分である絶対連続関数からなる重み付き空間 $L_{2,\alpha}^1$ を用い、前向曲線の十分な正則性を保証する。
• Lévy-Khintchine の表現を用いて Lévy プロセスの特性関数を特徴付け、Lévy 済みに可積分性条件を導出する。
• 連続過程からなる完備距離空間で、一様で有限なモーメントを持つものにおいて、縮小写像の原理を用いて局所的適切性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボラティリティ係数 $\sigma$ および Lévy 済みにどのような条件を課すと、Musiela の SPDE が一意的な局所的弱解をもつのか？
• RQ2 拡散型ノイズのケースに限らず、ジャンプ付きの無限次元 Lévy ノイズに対しても、SPDE に対する半群手法を拡張できるか？
• RQ3 どのような関数空間構造が、前向曲線の十分な正則性と SPDE の適切性の両方を保証するか？
• RQ4 ジャンプ付き martingale に対する最大不等式は、パスごとの一意性および存在性の証明にどのように寄与するか？
• RQ5 有限個のケースにとどまらず、無限個の独立な Lévy 確率過程（例えば、ガンマ過程の列）に対しても、この枠組みは適用可能か？

主な発見

• 重み $\alpha$ を用いた平方可積分微分を持つ絶対連続関数の空間 $L_{2,\alpha}^1$ において、$\alpha^{-1/3} \in L^1(\mathbb{R}_+)$ が成り立つ限り、SPDE は一意的な局所的弱解をもつ。
• ボラティリティ係数 $\sigma$ に対しては、状態変数におけるリプシッツ連続性および線形成長条件が十分であり、確率積分が適切に定義されることを保証する。
• Lévy 済みは $\sum_k \int_{\mathbb{R} \setminus [-1,1]} (1 \wedge |x|^2) \, m^k(dx) < \infty$ を満たす必要があり、可積分性と爆発の回避を保証する。
• 無限個の独立なガンマ過程のケースでは、$c^k \in \ell^1 \cap \ell^2$ かつ $\alpha^k$ が 0 から正の下限をもつ場合に、局所的適切性が成り立つ。
• 証明は、古典的な Burkholder 型推定をジャンプ拡散設定に拡張した、Lévy ノイズに関する確率積分に対する最大不等式に依拠している。
• 従来の有限次元 Lévy ノイズ（例えば、Filipović と Tappe、Peszat と Zabczyk）の研究を、無限次元的かつ有界でないノイズへ一般化した結果である。