[論文レビュー] Local well-posedness of the contact line problem in 2-D Stokes flow

Yunrui Zheng, Ian Tice|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、粘性非圧縮性流体が自由表面を有し、移動する接触線で固体壁と接する2次元接触線問題におけるストークス流れの局所的適切性を確立する。幾何的定式化、エネルギー推定、時刻に依存するガレルキン法、および縮小写像原理を用いて、初期データが小さく、ヤングの条件を満たす場合に、短時間のうちに解の存在、一意性、正則性を証明する。ナビエスリップと表面張力による古典的接触線特異性の解消がなされる。

ABSTRACT

We consider the evolution of contact lines for viscous fluids in a two-dimensional open-top vessel. The domain is bounded above by a free moving boundary and otherwise by the solid wall of a vessel. The dynamics of the fluid are governed by the incompressible Stokes equations under the influence of gravity, and the interface between fluid and air is under the effect of capillary forces. Here we develop a local well-posedness theory of the problem in the framework of nonlinear energy methods. We utilize several techniques, including: energy estimates of a geometric formulation of the Stokes equations, a Galerkin method with a time-dependent basis for an $ε$--perturbed linear Stokes problem in moving domains, the contraction mapping principle for the $ε$--perturbed nonlinear full contact line problem, and a continuity argument for uniform energy estimates.

研究の動機と目的

• 粘性ストークス流れにおける2次元接触線問題の局所的適切性理論を確立すること。
• 非線形エネルギー法を用いて、ナビエスリップと表面張力を組み込むことにより、接触線における古典的特異性を解消すること。
• 初期データが小さく、ヤングの条件を満たす場合に、短時間のうちに解の存在、一意性、正則性を証明すること。
• 時刻に依存する幾何構造と境界条件を有する移動領域を分析するためのフレームワークを構築すること。
• 非線形エネルギー法を、変化する領域における幾何的定式化と摂動技術を含む形に拡張すること。

提案手法

• 幾何的応力テンソル $ S(P,u) = P I - \mu \mathbb{D}u $ を用いて、Euler座標におけるストークス方程式を定式化する。ここで $ \mathbb{D}u $ は対称勾配である。
• 微分同相写像 $ \Phi $ を用いた幾何的再定式化により、移動領域 $ \Omega(t) $ を固定された参照領域 $ \Omega $ に写像し、固定された幾何構造における解析を可能にする。
• 時刻に依存するガレルキン法を、移動領域における $ \epsilon $-摂動線形ストークス問題に適用し、境界の変化に適応した基底関数を用いる。
• 摂動系におけるエネルギー推定を実行し、境界および界面のダイナミクスを制御するため、重み付きソボレフ空間 $ W_{\delta}^{k} $ および $ \mathring{H}^{s} $ を用いる。
• $ \epsilon $-摂動非線形問題に対して縮小写像原理を適用し、適切な正則性を持つ関数の完備距離空間内での解の存在と一意性を証明する。
• 連続性の議論を用いて一様エネルギー推定を導出し、初期データが小さい場合に解が有界かつ正則のままであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に現実的な境界条件のもとで、移動する接触線を有する2次元ストークス流れは、時間に依存する解をもつのか？
• RQ2 非線形かつ境界が移動する設定において、ナビエスリップと表面張力によって古典的接触線特異性は解消可能か？
• RQ3 接触線問題の解は、短時間のうちに一意的かつ十分に正則的か？
• RQ4 非線形エネルギー法は、時刻に依存する領域および幾何的に複雑な境界条件を扱うように適応可能か？
• RQ5 ヤングの条件 $ |[\![\gamma]\!]|/\sigma < 1 $ は、定常平衡状態の存在と適切性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 著者らは、初期データが小さく、$ T \leq T_1 $ の短時間の区間において、解の存在、一意性、正則性という意味で2次元接触線問題の局所的適切性を証明する。
• 解は重み付きソボレフノルムにおける一様エネルギー推定を満たし、$ \varepsilon $（摂動パラメータ）および初期データの大きさに依存する境界を持つ。
• $ \epsilon $-摂動系に縮小写像原理を適用することで、適切な正則性を持つ関数の完備距離空間内に一意な解が得られる。
• エネルギー推定は楕円的推定と小さな仮定に基づいて閉じられ、$ \|v\|_{L^2 W_{\delta}^2}^2 + \|q\|_{L^2 \mathring{W}_{\delta}^1}^2 + \|\theta\|_{L^2 W_{\delta}^{5/2}}^2 = 0 $ が得られ、小さな仮定のもとで摂動が自明になることから安定性が確認される。
• 微分同相写像 $ \Phi $ は、$ \|\eta\|_{W_{\delta}^{5/2}} $ が小さい場合に $ C^1 $ かつ可逆であることが示され、幾何的変換が有効であることが保証される。
• ヤングの条件 $ |[\![\gamma]\!]|/\sigma < 1 $ は、滑らかな平衡状態 $ \zeta_0 $ の存在にとって必要かつ十分であり、全体の適切性フレームワークの基盤をなす。