[論文レビュー] Localisation of the Galilean symmetry and dynamical realisation of Newton-Cartan geometry

Rabin Banerjee, Arpita Mitra+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、非相対論的物質場理論におけるギャリレオ対称性の局所化を通じて、ニュートン＝カルタン幾何学の動的で場理論的実現を提示する。グローバルなギャリレオ群をゲージ化することで、マスター行列を介してビアインと接続を導入し、ニュートン＝カルタン時空の退化計量およびアフィン接続をゲージ場から直接導出する。これは、相対論的極限に依存せず、すべての主要なテンソル的および幾何的制約を満たす完全に幾何的で相対論的独立な構成を確立する。

ABSTRACT

Newtonian gravity was formulated as a geometrodynamic theory as far back in 1930s by Elie Cartan in what is named aptly as Newton Cartan space time. Though there are several approaches of realizing the algebraic structure of the Newton Cartan geometry from a contraction of the relativistic results, a dynamical (field theoretic) realization of it is lacking. In this paper we present such a realization from the localisation of the Galilean Symmetry of nonrelativistic matter field theories.

研究の動機と目的

• 相対論的縮約に依存しない、場理論的で動的なニュートン＝カルタン幾何学の実現を提供すること。
• 非相対論的場理論におけるポincare対称性からギャリレオ対称性への、ウティヤマ型ゲージ化手順の拡張。
• ニュートン＝カルタン時空の幾何的対象（退化計量および接続）を、局所化されたゲージ場から直接構成すること。
• 得られた構造が局所ギャリレオ変換の下で正しくテンソル的に変換し、ニュートン＝カルタン時空の幾何的公理を満たすことを確認すること。
• ビアインと接続場を備えた4次元時空多様体を、第一原理から完全にニュートン＝カルタン幾何的構造で実現すること。

提案手法

• 非相対論的場理論のグローバルギャリレオ対称性を、定数の変換パラメータを時空依存関数に拡張することで局所化する。
• 局所ギャリレオ変換に対する不変性を回復するために、共変微分を導入し、積分測度を修正する。
• ゲージ場（ビアイン、スピン接続）からなる4×4正則マスター行列を構成し、幾何的構造を統合する。
• ビアインの仮説を用いてニュートン＝カルタン接続を導出し、退化した空間的・時間的計量と整合性を保証する。
• 局所化手順からの変換則を用いて、得られた幾何的対象が局所ギャリレオ変換の下でテンソル的に正しく変換することを検証する。
• ゲージ場から時間的一形式τμと空間計量hμνを明示的に構成し、偏微分とスピン接続項を含む接続式（式41）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートン＝カルタン幾何学は、相対論的縮約に依存せず、ギャリレオ対称性の局所化を通じて場理論的で動的な構造として実現可能か？
• RQ2 ギャリレオ対称性の局所化から生じるゲージ場は、ニュートン＝カルタン時空の幾何的対象（ビアイン、接続、計量）とどのように対応するか？
• RQ3 局所化手順から導かれた幾何的対象は、局所ギャリレオ変換の下で正しいテンソル的変換則を満たすか？
• RQ4 得られた接続構造は標準的なニュートン＝カルタン接続と同値であり、ポincareゲージ理論におけるリーマン＝カルタン接続に類似した形に表現可能か？
• RQ5 ギャリレオ対称性の局所化によって生成される場のみを用いて、4次元時空多様体に一貫してニュートン＝カルタン幾何学を導入可能か？

主な発見

• 非相対論的場理論におけるギャリレオ対称性の局所化は、ニュートン＝カルタン時空の幾何的構造として再解釈可能な完全な場の集合を生成する。
• 時間的一形式τμと空間計量hμνはゲージ場から明示的に構成され、τμが絶対的時間、hμνが空間幾何を定義する。
• ビアインの仮説を用いて接続が導出され、式（41）に示される形を取り、曲率に類似した項とスピン接続Kλ(μτν)を含む項を含む。
• 得られた接続は、必要な幾何的性質を満たしており、退化計量と整合性があり、局所ギャリレオ変換の下で正しく変換する。
• 一般相対性理論やポincareゲージ理論に依存せず、第一原理からニュートン＝カルタン幾何学を場理論的に導出する。
• 最終的な幾何的構造は標準的なニュートン＝カルタン時空と一致し、接続と計量がすべて定義的制約（たる torsion テンソルの時間的成分がゼロであること）を満たす。