[論文レビュー] Localisations and Completions of Skew Power Series Rings

Peter Schneider, Otmar Venjakob|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非可換Iwasawa理論における非可換局所化と完備化の関係を確立する一般枠組みを提供し、$A = R[[t;\sigma,\delta]]$ の形の斜冪級数環の局所化 $A_S$ の完備化が斜ローレンツ級数環 $B$ に同型であることを示す。この同型は、$S$ を標準的なOre集合とする。主な貢献は、非可換Iwasawa理論における局所化と完備化の関係を一般化し、Iwasawa代数や $p$-進ホッジ理論への応用を可能にすることにある。

ABSTRACT

This paper is a natural continuation of the study of skew power series rings A initiated in [P. Schneider and O. Venjakob, On the codimension of modules over skew power series rings with applications to Iwasawa algebras, J. Pure Appl. Algebra 204 (2005), 349 - 367.]. We construct skew Laurent series rings B and show the existence of some canonical Ore sets S for the skew power series rings A such that a certain completion of the localisation A_S is isomorphic to B. This is applied to certain Iwasawa algebras. Finally we introduce subrings of overconvergent skew Laurent series rings.

研究の動機と目的

• 斜冪級数環 $A = R[[t;\sigma,\delta]]$ の局所化の完備化として、斜ローレンツ級数環 $B = R((t;\sigma,\delta))$ の標準的構成を確立すること。
• 標準的Ore集合 $S$ における局所化 $A_S$ の完備化が斜ローレンツ級数環 $B$ に同型であることを証明し、多くの元を逆数にしなくてもよいようにすること。
• 過収束斜ローレンツ級数環を導入・研究し、$p$-進ホッジ理論からの概念を一般化すること。
• 得られた結果をIwasawa代数に応用し、構成された環が $A$ および $A_S$ に関して擬コンパクト的、ネーター的、平坦的であることを示すこと。

提案手法

• Artin環商 $R/I_k$ 上の斜ローレンツ級数環の射影極限として、$B = R\ll t;\sigma,\delta]]$ を構成し、明確な位相的環構造を保証する。
• 負の部分に成長制約を課えた形式的無限級数 $\sum_{i\in\mathbb{Z}} r_i t^i$ を用いて $B$ を定義し、明示的な乗法則 (1.12)–(1.15) を用いる。
• 条件 $\delta(R) \subseteq \mathrm{Jac}(R)$ のもとで、$\pi: A \twoheadrightarrow (R/\mathrm{Jac}(R))[[t;\overline{\sigma}]]$ に対し、$S = \mathcal{C}_A(\ker \pi)$ として標準的Ore集合を定義する。
• $I_\bullet$ が誘導するフィルトレーションに関して、$A_S$ の完備化が $B$ に同型であることを、命題 2.27 を用いて証明する。
• ノルム条件 $\lim_{i\to -\infty} |a_i| u^i = 0$ を用いて、$B(|\,|;u)$ を過収束部分環として定義し、乗法に関して閉じていることを示す。
• イデアルノルムとフィルトレーションを用いて、位相的および代数的有限性条件を満たし、$B$ 及びその過収束部分環の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 斜冪級数環 $A = R[[t;\sigma,\delta]]$ の標準的Ore集合 $S$ における局所化は、完備化によって斜ローレンツ級数環に一致するか？
• RQ2 どのような条件下で、得られる完備化 $B$ が負の部分が制御された無限ローレンツ級数の位相的環に同型になるか？
• RQ3 過収束部分環 $B$ はどのように定義され、乗法に関して閉じていることが示せるか？
• RQ4 Iwasawa代数の文脈において、局所化 $A_S$ と斜ローレンツ級数環 $B$ の関係は何か？
• RQ5 フィルトレーションとノルムを用いて、Artin環でない環に対しても $B$ の構成を一般化できるか？

主な発見

• 局所化 $A_S$ の完備化が斜ローレンツ級数環 $B$ に同型であることを示し、$t$ を逆数にし、完備化を行うことで $B$ を得られることを示した。
• 環 $B$ は射影極限 $\varprojlim_k (R/I_k)((t;\overline{\sigma},\overline{\delta}))$ として構成され、明確な位相的環構造が保証された。
• 命題 1.15 の基準により、斜ローレンツ級数環 $B$ は左および右 $A$-加群としてネーター的かつ平坦的である。
• 任意の $D < u < 1$ に対して、命題 4.1 で示されるように、過収束部分環 $B(|\,|;u)$ は乗法に関して閉じている。
• 標準的条件下で、$B^\dagger(|\,|) = \bigcup_u B(|\,|;u)$ はイデアルノルムの選択に依存せず、コロナリー 4.2 および注意 4.3 で示された。
• Iwasawa代数の文脈では、構成された環 $B$ は擬コンパクト的、ネーター的、かつ $A$ および $A_S$ に関して平坦的であることが、定理 3.7 で確立された。