[論文レビュー] Locality estimes for complex time evolution in 1D

David Pérez-Garcı́a, Antonio Pérez|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Quantum many-body systems参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元量子系における複素時間発展演算子の局所性推定値を、指数関数的減衰を示す相互作用へと拡張し、実軸の周囲のストリップ上で時間発展演算子の解析性を証明する。主な結果として、相互作用の減衰率に依存する臨界温度以上で熱的状態における相関関数の指数的減衰を確立し、アラキの元来の結果を特殊ケースとして回復するとともに、ホログラフィック双対性を介して2次元PEPSのスペクトルギャップ問題への応用を拡張する。

ABSTRACT

It is a generalized belief that there are no thermal phase transitions in short range 1D quantum systems. However, the only known case for which this is rigorously proven is for the particular case of finite range translational invariant interactions. The proof was obtained by Araki in his seminal paper of 1969 as a consequence of pioneering locality estimates for the time-evolution operator that allowed him to prove its analiticity on the whole complex plane, when applied to a local observable. However, as for now there is no mathematical proof of the abscence of 1D thermal phase transitions if one allows exponential tails in the interactions. In this work we extend Araki's result to include exponential (or faster) tails. Our main result is the analyticity of the time-evolution operator applied on a local observable on a suitable strip around the real line. As a consequence we obtain that thermal states in 1D exhibit exponential decay of correlations above a threshold temperature that decays to zero with the exponent of the interaction decay, recovering Araki's result as a particular case. Our result however still leaves open the possibility of 1D thermal short range phase transitions. We conclude with an application of our result to the spectral gap problem for Projected Entangled Pair States (PEPS) on 2D lattices, via the holographic duality due to Cirac et al.

研究の動機と目的

• 1969年にアラキが得た1次元量子系における時間発展演算子の解析性に関する結果を、指数的（またはそれ以上の）減衰を示す相互作用へ一般化すること。
• 有限範囲相互作用を超えて、指数的減衰を示す相互作用を有する1次元系における複素時間発展演算子の局所性推定値を確立すること。
• 無限体積のギブス状態において、相互作用の減衰率に依存する臨界温度以上で相関関数の指数的減衰が成立することを証明すること。
• 2次元PEPSにおける射影エンsemblesペア状態（PEPS）のスペクトルギャップ基準を、有限範囲相互作用から指数的減衰相互作用へと拡張すること。
• 厳密な局所性推定値と、熱的相転移や量子多体系におけるスペクトルギャップといった物理的現象との橋渡しをすること。

提案手法

• アラキの元来の手法を一般化することで、時間発展演算子を表面をはさんで相互作用するエネルギーの寄与に分解し、1次元系における複素時間発展演算子の新たな局所性推定値を導出する。
• 新規の局所性推定値を活用して、平衡状態の局所的摂動を解析するため、アラキ＝ダイソン展開式を用いる。
• 新規の局所性推定値とLieb-Robinson評価を併用することで、複素時間平面における水平ストリップ内への解析性の領域を拡張する。
• 解析性ストリップの幅が相互作用の減衰率λに比例することを示し、具体的には|Im(s)| < λ/(4Ω₀)と表される。ここでΩ₀は相互作用強度を表す。
• 時間発展演算子の解析性を用いて、β < λ/(2Ω₀)のとき、KMS状態における相関関数の指数的減衰を証明する。
• 2次元PEPSのスペクトルギャップ問題に応用するため、境界ハミルトニアンが指数的減衰を示すならば、親ハミルトニアンがギャップを持つことを示し、従来の有限範囲相互作用に対する結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子系におけるアラキの時間発展演算子の解析性結果を、指数的減衰を示す相互作用へ拡張することは可能か？
• RQ2 相互作用が厳密に有限範囲ではなく指数的減衰を示す場合でも、1次元系における熱的相転移の不在は維持されるか？
• RQ3 相関関数の指数的減衰の臨界温度が、相互作用の減衰率にどのように依存するかの明確な依存関係は何か？
• RQ4 2次元PEPSにおけるスペクトルギャップ基準を、有限範囲から指数的減衰相互作用へと拡張することは可能か？
• RQ5 相互作用が多項式より速く（例えば指数的に）減衰する場合、複素時間発展演算子の局所性推定値はどのように変化するか？

主な発見

• 相互作用がΩₙ = O(e⁻ˡⁿ)の形で減衰する場合、局所的観測量に作用する時間発展演算子は、複素平面における|Im(s)| < λ/(4Ω₀)のストリップ上で解析的である。
• 1次元系の熱的状態では、すべての逆温度β < λ/(2Ω₀)において相関関数が指数的減衰を示し、その減衰率は相互作用の減衰指数λに依存する。
• 相互作用の減衰率が増加するにつれて、相関関数の減衰の臨界温度は0に収束し、有限範囲の極限（λ → ∞）においてアラキの元来の結果が回復される。
• 2次元PEPSのスペクトルギャップ基準が指数的減衰相互作用へと拡張され、境界状態がこのような相互作用を持つギブス状態に対応するならば、親ハミルトニアンはギャップを持つことが示された。
• 解析性ストリップの幅とそれに続く相関関数の減衰閾値は、相互作用の減衰と強度の相互作用に依存し、λとΩ₀が主要なパラメータとして機能する。
• 本手法は、この文脈において技術的制限があるハスティングスの摂動公式に依存せず、精緻なアラキ＝ダイソン展開式と新規の局所性推定値の組み合わせに依存している。