[論文レビュー] Locality in Online, Dynamic, Sequential, and Distributed Graph Algorithms

Amirreza Akbari, Eslami, Navid+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2021

Cryptography and Data Security被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、オンライン、動的、逐次、分散グラフアルゴリズムにおける局所性を統一的に分析するためのオンライン-LOCALモデルを導入する。パス、サイクル、ルート付き木における局所的に検証可能なラベリング（LCL）問題に関して、4つのモデルが同一の局所性クラス—O(log∗n)、Θ(log n)、またはnΘ(1) — を有することを確立し、モデル間で下界の転送や効率的なシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

In this work, we give a unifying view of locality in four settings: distributed algorithms, sequential greedy algorithms, dynamic algorithms, and online algorithms. We introduce a new model of computing, called the online-LOCAL model: the adversary reveals the nodes of the input graph one by one, in the same way as in classical online algorithms, but for each new node we get to see its radius-T neighborhood before choosing the output. We compare the online-LOCAL model with three other models: the LOCAL model of distributed computing, where each node produces its output based on its radius-T neighborhood, its sequential counterpart SLOCAL, and the dynamic-LOCAL model, where changes in the dynamic input graph only influence the radius-T neighborhood of the point of change. The SLOCAL and dynamic-LOCAL models are sandwiched between the LOCAL and online-LOCAL models, with LOCAL being the weakest and online-LOCAL the strongest model. In general, all models are distinct, but we study in particular locally checkable labeling problems (LCLs), which is a family of graph problems studied in the context of distributed graph algorithms. We prove that for LCL problems in paths, cycles, and rooted trees, all models are roughly equivalent: the locality of any LCL problem falls in the same broad class - $O(\log^* n)$, $Θ(\log n)$, or $n^{Θ(1)}$ - in all four models. In particular, this result enables one to generalize prior lower-bound results from the LOCAL model to all four models, and it also allows one to simulate e.g. dynamic-LOCAL algorithms efficiently in the LOCAL model. We also show that this equivalence does not hold in general bipartite graphs. We provide an online-LOCAL algorithm with locality $O(\log n)$ for the $3$-coloring problem in bipartite graphs - this is a problem with locality $Ω(n^{1/2})$ in the LOCAL model and $Ω(n^{1/10})$ in the SLOCAL model.

研究の動機と目的

• 分散、逐次グリーディ、動的、オンラインアルゴリズムの4つのアルゴリズムモデルにおける局所性の統一的分析を図ること。
• オンライン-LOCALモデルを提唱・形式化し、新しく公開されるノードの半径T近傍をアルゴリズムが事前に観測できるようにすること。
• オンライン-LOCALモデルと既存モデル（LOCAL、SLOCAL、動的-LOCAL）との関係を確立すること。
• よく研究されたLOCALモデルにおける局所性の結果が、他のモデル、特にLCL問題においても拡張可能かどうかを調査すること。
• モデルが同等となる状況と、相違を示す状況（特に構造的グラフと一般グラフの違い）を特定すること。

提案手法

• オンライン-LOCALモデルを提唱し、各ノードが1つずつ順次公開され、アルゴリズムがそのノードの半径T近傍を事前に観測した上で出力を決定するものとする。
• オンライン-LOCALを、3つの既存モデル（LOCAL（分散）、SLOCAL（逐次グリーディ）、動的-LOCAL（動的グラフ更新））と比較する。
• 包み込み論法（sandwiching argument）を用いて、SLOCALと動的-LOCALが、表現力においてLOCALとオンライン-LOCALの間に厳密に挟まれていることを示す。
• 証明可能な条件に基づく技法を用い、オンライン-LOCALにおける対数未満の局所性が、LOCALモデルにおいてO(log∗n)解法の存在を示すことを証明する。
• 完全なδ-有向木の巨大な族を構築し、アルゴリズムの振る舞いをシミュレートし、O(log∗n)解法の証明可能な条件を導出する。
• この手法を用いて、パス、サイクル、ルート付き正則木におけるLCL問題の局所性クラスの同等性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的グラフにおけるLCL問題に関して、オンライン-LOCAL、SLOCAL、動的-LOCAL、LOCALの4つのモデルは局所性において同等であるか？
• RQ2 LOCALモデルからの下界は、オンライン-LOCALモデルや他のモデルへと転送可能か？
• RQ3 オンライン-LOCALモデルにおける二部グラフの3色塗り分けの局所性は、LOCALモデルと比べてどのように異なるか？
• RQ4 2次元グリッドや一般の二部グラフのような一般グラフでは、モデル間の同等性が崩れるか？
• RQ5 オンライン-LOCALアルゴリズムは、LOCALモデルよりも著しく低い局所性で問題を解けるか？

主な発見

• パス、サイクル、ルート付き正則木におけるLCL問題に関して、4つのモデル（LOCAL、SLOCAL、動的-LOCAL、オンライン-LOCAL）は、すべて同一の局所性クラス—O(log∗n)、Θ(log n)、またはnΘ(1) — を有する。
• オンライン-LOCALモデルにおける二部グラフの3色塗り分けには、局所性O(log n)のアルゴリズムが存在するが、LOCALモデルでは局所性がΩ(n1/2)、SLOCALモデルではΩ(n1/10)である。
• 2次元グリッドや一般の二部グラフでは、オンライン-LOCALモデルがLOCALモデルよりも厳密に優れた局所性を示し、モデル間の同等性が崩れる。
• オンライン-LOCALモデルにおけるlog n未満の局所性を持つLCL問題のアルゴリズムは、LOCALモデルにおいて証明可能なO(log∗n)解法の存在を示唆する。
• 本結果により、動的-LOCALアルゴリズムをLOCALモデルで効率的にシミュレート可能となり、LOCALモデルの下界を他のモデルへ一般化可能になる。
• 本稿では、オンライン-LOCALモデルがLOCALモデルよりも厳密に強力であり、SLOCALと動的-LOCALがその間に挟まれていることが確立される。