[論文レビュー] Locality of dynamics in general harmonic quantum systems

M. Cramer, Alessio Serafini+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 3被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、任意の格子上の一般化された調和量子系に対してLieb-Robinson上限を確立し、標準的な定理を無限次元・連続変数系に拡張する。局所的相互作用では非局所的交換子の超指数的減衰が生じるが、代数的減衰する相互作用では代数的抑制が生じ、キーン＝ゴルドン場の連続極限において正確な因果性が現れる。

ABSTRACT

The Lieb-Robinson theorem states that locality is approximately preserved in the dynamics of quantum lattice systems. Whenever one has finite-dimensional constituents, observables evolving in time under a local Hamiltonian will essentially grow linearly in their support, up to exponentially suppressed corrections. In this work, we formulate Lieb-Robinson bounds for general harmonic systems on general lattices, for which the constituents are infinite-dimensional, as systems representing discrete versions of free fields or the harmonic approximation to the Bose-Hubbard model. We consider both local interactions as well as infinite-ranged interactions, showing how corrections to locality are inherited from the locality of the Hamiltonian: Local interactions result in stronger than exponentially suppressed corrections, while non-local algebraic interactions result in algebraic suppression. We derive bounds for canonical operators, Weyl operators and outline generalization to arbitrary operators. As an example, we discuss the Klein-Gordon field, and see how the approximate locality in the lattice model becomes the exact causality in the field limit. We discuss the applicability of these results to quenched lattice systems far from equilibrium, and the dynamics of quantum phase transitions.

研究の動機と目的

• 有限次元スピン系に限らないLieb-Robinson上限を一般格子上の無限次元調和系に拡張すること。
• 局所的でない交換子の時間発展演算子における減衰が、相互作用の空間的構造（局所的 vs. 長距離）にどのように依存するかを分析すること。
• 調和格子における正準演算子、Weyl演算子、および任意の演算子に対する厳密な上限を確立すること。
• キーン＝ゴルドン場の連続極限において、格子モデルにおける近似的な局所性が正確な因果性にどのように発現するかを示すこと。
• 量子相転移やエンタングルメントダイナミクスを含む、クエンチされた調和系における非平衡ダイナミクスの研究を可能にすること。

提案手法

• 局所的ハミルトニアン下での時間発展演算子のHeisenberg図式を用いて、調和系のLieb-Robinson上限を導出する。
• 演算子ノルム推定と幾何的議論を用いて、距離 $ d $ 離れたWeyl演算子の交換子を、格子構造と相互作用の減衰を組み込んで上限で抑え込む。
• 遠く離れた格子サイト間の経路数に対する組合せ的上限を適用し、領域の表面積と格子内での球の成長を用いる。
• サイト対の和を境界層に分解する手法を導入し、$ ext{dist}(i,j) = ext{dist}(i,k) + ext{dist}(k,l) + ext{dist}(l,j) $ を利用して和を制御する。
• 関数 $ f(d) imes d^{D-1} $ を含む和の漸近的挙動を分析することで、減衰上限を確立する。ここで $ f(d) $ は相互作用強度を符号化し、指数的または代数的減衰を表す。
• Weyl演算子の上限を導出し、線形結合とノルム推定を用いて任意の演算子への一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般格子構造を持つ無限次元調和系において、量子ダイナミクスの局所性はどのように現れるか？
• RQ2 非局所的交換子の減衰率は、相互作用の空間的範囲（局所的 vs. 代数的減衰）にどのように依存するか？
• RQ3 格子調和モデルにおける近似的な局所性は、連続場極限において正確な因果性に収束するか？
• RQ4 調和系におけるWeyl演算子のLieb-Robinson上限は、有限次元スピン系におけるそれとどのように異なるか？
• RQ5 これらの上限は、調和格子におけるクエンチや量子相転移といった非平衡ダイナミクスに、どの程度応用可能か？

主な発見

• 局所的相互作用の下では、交換子の減衰が指数的を上回り、$ ext{const} imes ext{e}^{- ext{dist}(A,B) + v|t|} $ の形の上限を持つことから、超指数的抑制が生じる。
• 代数的減衰する相互作用の下では、代数的減衰が生じ、上限は $ ext{const} imes (1 + ext{dist}(A,B))^{- u} $ とスケーリングし、ハミルトニアンの減衰率を引き継ぐ。
• キーン＝ゴルドン場の場合、格子モデルにおける近似的な局所性が連続極限で正確な因果性に発展し、相対論的因果性が回復される。
• Weyl演算子の上限は幾何的レイヤリングと経路数の数え上げを用いて導出され、領域の表面積と格子次元に依存する。
• 遠く離れたサイト対の和は $ ext{dist}^{D-1}( ext{dist}) imes ext{sum over } d $ を用いて制御され、適切な減衰条件下で有限な上限が得られる。
• 線形結合とノルム推定を用いて、任意の演算子への一般化が可能であり、調和系における非平衡ダイナミクスへの広範な応用が可能になる。