[論文レビュー] Localization and Chern numbers for weakly disordered BdG operators

Maxim Drabkin, Giuseppe De Nittis+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、弱い不純物を有するボゴリウボフ＝デギエンズ（BdG）作用素の中央ギャップにおけるアンドリュースの局在化を、アイゼンマン＝モルチャンォフ法を用いて確立し、ゼロエネルギ一付近に局在状態が存在することを証明する。さらに、ユニタリ行列転送法およびベリー位相法を用いて、$p+\imath p$および$d+\imath d$波超伝導体のチーン数を計算し、ギャップが存在する状況下で非自明なトポロジカル不変量（$-1$、$1$、および$ olimits \mp 2$）を示す。

ABSTRACT

After a short discussion of various random Bogoliubov-de Gennes (BdG) model operators and the associated physics, the Aizenman-Molchanov method is applied to prove Anderson localization in the weak disorder regime for the spectrum in the central gap. This allows to construct random BdG operators which have localized states in an interval centered at zero energy. Furthermore, techniques for the calculation of Chern numbers are reviewed and applied to two non-trivial BdG operators, the p+ip wave and d+id wave superconductors.

研究の動機と目的

• 弱い不純物を有するBdG作用素の中央ギャップにおけるアンドリュースの局在化を、アイゼンマン＝モルチャンォフ法を用いて厳密に確立すること。
• ゼロエネルギ一付近に局在状態を構築することにより、不純物を有するBdG系におけるトポロジカル不変量の安定性を示すこと。
• 解析的および数値的技法を用いて、特に$p+\imath p$および$d+\imath d$波超伝導体の非自明なBdGモデルのチーン数を計算すること。
• フェルミ射影のチーン数が弱い不純物に対して安定であり、ユニタリ転送行列または特異点まわりのループ積分によって計算可能であることを示すこと。

提案手法

• 弱い不純物下でのBdGハミルトニアンの中央ギャップにおける指数的局在化を証明するために、アイゼンマン＝モルチャンォフ法を適用する。
• BdGハミルトニアンのブロック構造から転送行列$T(k_1)$を構築し、スペクトル特性を解析し、収縮する固有空間を同定する。
• 転送行列$T(k_1)$の収縮する固有空間から$2r \times 2r$ユニタリ行列$U(k_1)$を定義し、これによりベリー位相積分を介してチーン数を符号化する。
• 公式$\text{Ch}(P_\mu) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dk_1}{2\pi i} \text{Tr}(U^* \partial_{k_1} U)$を用いて、ユニタリ行列$U(k_1)$からチーン数を計算する。
• $d+\imath d$モデルの場合、運動量空間内の特異点まわりの遷移関数$\theta(k)$のループ積分によりチーン数を計算する。
• 正規化された固有関数および遷移関数の手法を用いて、ベクトル bundle 内の特異点を扱い、特異点を伴うブローチュ bundle 内でのチーン数計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い不純物を有するBdG作用素の中央ギャップにおいて、アンドリュースの局在化を厳密に確立できるか？
• RQ2 弱い不純物を有する確率的BdGモデルにおいて、ゼロエネルギ一付近に局在状態が出現するか。また、それらは安定か？
• RQ3 ギャップが存在する状況下で、$p+\imath p$および$d+\imath d$波超伝導体のフェルミ射影のチーン数は何か？
• RQ4 ブローチュ bundle 内に特異点を有するBdGハミルトニアンに対して、チーン数を信頼性高く計算する方法は何か？
• RQ5 粒子-hole対称性を有するBdG系において、弱い不純物下でもトポロジカル不変量（チーン数）は安定か？

主な発見

• 弱い不純物を有するBdG作用素の中央ギャップにおけるアンドリュースの局在化が、アイゼンマン＝モルチャンォフ法を用いて証明され、ゼロエネルギ一付近に局在状態が存在することが保証される。
• $p+\imath p$波超伝導体では、$\mu = -0.5$および$\mu = -0.01$のときチーン数は$-1$、$\mu = 0.01$のとき$+1$であり、$\mu = 0$でギャップが閉じる遷移点が存在する。
• $d+\imath d$波超伝導体のチーン数は、$\mu < 4$のとき$-2$、$\mu > -4$のとき$+2$であり、$|\mu| > 4$ではチーン数が消える。
• チーン数は、転送行列$T(k_1)$の収縮する固有空間から導かれるユニタリ行列$U(k_1)$を用いて計算され、$\text{Ch}(P_\mu) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dk_1}{2\pi i} \text{Tr}(U^* \partial_{k_1} U)$を満たす。
• $d+\imath d$モデルでは、特異点$k_I = (0,0)$および$k_{II} = (\pi,\pi)$まわりの位相$\theta(k)$のループ積分によりチーン数が$\mp 2$として計算され、ギャップ内での非自明なトポロジーが確認される。
• フェルミ射影のチーン数は弱い不純物に対して安定であり、中央ギャップが開いている限りトポロジカル不変量は頑健である。