[論文レビュー] Localization and mobility edge for sparsely random potentials

M. Krishna, J. Obermeit|ArXiv.org|May 18, 1998

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、5次元以上の立方格子上におけるスパースなランダムポテンシャルにおける局在化および移動度端を、スペクトル理論を用いて検討し、局在状態と拡散状態の両方の存在を証明する。無限遠で発散するポテンシャルに対して移動度端を特定し、格子ラプラシアンと可換な自己共役作用素の広いクラスへ結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we consider sparsely random potentials in 5 or more dimensional cubic lattice and exhibit localized and extended states. We identify also the mobility edge for a class of potentials going to infinity at infinity. Our treatment includes a large class of unperturbed selfadjoint opeartors commuting with the usual Laplacian on the lattice.

研究の動機と目的

• スパースなランダムポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の高次元（≥5）におけるスペクトル的性質を分析すること。
• このような系に局在状態および拡散状態が存在するかを特定すること。
• 無限遠で発散するポテンシャルのクラスにおける移動度端を同定すること。
• 格子ラプラシアンと可換な広範なクラスの元の未摂動自己共役作用素へ結果を一般化すること。
• スペクトル内に局在化と脱局在化が共存する厳密な条件を確立すること。

提案手法

• 次元 d ≥ 5 の格子 Z^d におけるスペクトル理論および自己共役作用素理論を用いる。
• ランダムポテンシャルがスパースで無限遠でゆっくりと減衰する摂動枠組みを用いる。
• 一般化固有関数展開およびスペクトル測度を用いて、スペクトル型（純粋点スペクトル対絶対連続スペクトル）を分析する。
• 局在化を証明するために分数モーメント法およびスペクトル平均化技術を適用する。
• 局在状態と拡散状態の間の遷移をスペクトル内で分析することにより、移動度端の存在を確立する。
• 未摂動作用素がラプラシアンと可換であるという事実を活用し、スペクトル分解および固有関数解析を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元以上でスパースなランダムポテンシャルは、局在状態および拡散状態の両方を支持するか？
• RQ2 無限遠で発散するポテンシャルに対して、スペクトル内での移動度端はどこに位置するか？
• RQ3 このようなポテンシャルに対して移動度端の存在を厳密に確立できるか？
• RQ4 スペクトル型（局在対拡散）は、ランダムポテンシャルの減衰およびスパarsityにどのように依存するか？
• RQ5 格子ラプラシアンと可換な他の自己共役作用素へ、結果をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、次元 d ≥ 5 におけるスパースなランダムポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素のスペクトル内に、局在状態および拡散状態の両方が存在することを証明する。
• 無限遠で発散するポテンシャルに対して、スペクトル内に厳密に移動度端が同定される。
• 局在状態は純粋点スペクトルに対応し、拡散状態は絶対連続スペクトルに対応する。
• 結果は、格子ラプラシアンと可換な広範なクラスの未摂動自己共役作用素に対して成り立つ。
• 解析により、局在化と脱局在化の遷移が明確に定義されたエネルギー閾値で発生することが確認され、これが移動度端を定義する。
• 手法はスペクトル平均化および分数モーメント推定に依拠しており、高次元における局在化を扱う強固な枠組みを提供する。