[論文レビュー] Localization, completions and metabelian groups

Gilbert Baumslag, Roman Mikhailov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、有限生成で、余可解的かつメタアベル群である群に対して、para-G 同値の概念を導入し、それが有限提示可能性などの共通する構造的性質を捉える同値関係であることを証明している。局所化、類体論、構成的可換代数を用いて、下層中央商群のねじれのないランクの列が計算可能であることを示し、今後の作業で有理Poincaré級数のアルゴリズム的計算の基盤を築いた。これは、メタアベル群の同型問題を前進させる。

ABSTRACT

If G and H are finitely generated, residually nilpotent metabelian groups, H is termed para-G if there is a homomorphism of G into H which induces an isomorphism between the corresponding terms of their lower central quotient groups. We prove that this is an equivalence relation. It is a much coarser relation than isomorphism, our ultimate concern. It turns out that many of the groups in a given equivalence class share various properties including finite presentability. There are examples, such as the lamplighter group, where an equivalence class consists of a single isomorphism class and others where this is not the case. We give several examples where we solve the Isomorphism Problem. We prove also that the sequence of torsion-free ranks of the lower central quotients of a finitely generated metabelian group is computable. In a future paper we plan on proving that there is an algorithm to compute the numerator and denominator of the rational Poincare series of a finitely generated metabelian group and will carry out this computation in a number of examples, which may shed a tiny bit of light on the Isomorphism Problem. Our proofs use localization, class field theory and some constructive commutative algebra.

研究の動機と目的

• 有限生成で、余可解的かつメタアベル群である群の間で、下層中央商群の同型に基づく、より粗い同値関係—para-G—を定義・分析すること。
• 同じ para-G 同値類に属する群が、有限提示可能性などの構造的性質をどの程度共有するかを調査すること。
• para-G 同値が同型を意味する条件を特定することで、メタアベル群の同型問題を解決すること。
• 有限生成メタアベル群の下層中央商群のねじれのないランクの列が計算可能であることを確立すること。
• 今後の作業で、このような群の有理Poincaré級数のアルゴリズム的計算の基盤を築くこと。

提案手法

• 群の局所化技術を用いて、メタアベル群の構造とその下層中央系列の商群との関係を関係づける。
• 類体論を応用して、メタアベル群のコホノロジー的および算術的性質を分析する。
• 構成的可換代数を用いて、群環および関連する加群の代数的構造を扱う。
• 下層中央商群上で同型を誘導する準同型を用いて para-G 同値を定義し、それが反射的・対称的・推移的であることを証明する。
• 群の提示から得られる代数的不変量を用いて、下層中央商群のねじれのないランクを計算する。
• 今後の作業で、有理Poincaré級数の分子および分母をアルゴリズム的に計算する結果の拡張を計画する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下層中央商群での同型に基づいて定義される para-G 関係が、有限生成で、余可解的かつメタアベル群のクラス上で同値関係であるか。
• RQ2 同じ para-G 同値類に属する群が、有限提示可能性などの性質をどの程度共有するか。
• RQ3 メタアベル群の同型問題は、para-G 同値類内で解けるか。また、para-G 同値がいつ同型を意味するか。
• RQ4 有限生成メタアベル群の下層中央商群のねじれのないランクの列は計算可能か。
• RQ5 有限生成メタアベル群の有理Poincaré級数を計算するアルゴリズムを開発可能か。

主な発見

• para-G 関係が、有限生成で、余可解的かつメタアベル群のクラス上で同値関係であることが証明された。
• 同じ para-G 同値類に属する群は、しばしば有限提示可能性を含む、重要な構造的性質を共有する。
• 例えばランプライト群のような例では、para-G 同値類に同型類が1つしか含まれない。
• 一方、para-G 同値類に複数の非同型群を含む例もあり、この関係の粗さを示している。
• 有限生成メタアベル群の下層中央商群のねじれのないランクの列は、本稿で開発された手法を用いて計算可能である。
• 本稿では、今後の作業で有理Poincaré級数のアルゴリズム的計算を可能にする基盤となる道具—局所化、類体論、構成的可換代数—を確立した。