[論文レビュー] Localization for nonabelian group actions

Lisa C. Jeffrey, Frances Kirwan|ArXiv.org|Jul 6, 1993

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、非アーベル群作用における局所化技術と等置換コホモロジーを用いて、シンプレクティック商 $\mathcal{M}_X = \mu^{-1}(0)/K$ の基本的クラス上のコホモロジー類の評価を計算するための剰余公式を確立する。主な貢献は、最大トーラスの固定点成分への等置換類の制限を用いて $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ を表現する公式であり、これにより交差ペアリングが計算可能となり、結果として $H^*(\mathcal{M}_X)$ のコホモロジー環構造が特定可能となる。

ABSTRACT

Suppose $X$ is a compact symplectic manifold acted on by a compact Lie group $K$ (which may be nonabelian) in a Hamiltonian fashion, with moment map $μ: X o { m Lie}(K)^*$ and Marsden-Weinstein reduction $\xred = μ^{-1}(0)/K$. There is then a natural surjective map $κ_0$ from the equivariant cohomology $H^*_K(X) $ of $X$ to the cohomology $H^*(\xred)$. In this paper we prove a formula (Theorem 8.1, the residue formula) for the evaluation on the fundamental class of $\xred$ of any $η_0 \in H^*(\xred)$ whose degree is the dimension of $\xred$, provided that $0$ is a regular value of the moment map $μ$ on $X$. This formula is given in terms of any class $η\in H^*_K(X)$ for which $κ_0(η) = η_0$, and involves the restriction of $η$ to $K$-orbits $KF$ of components $F \subset X$ of the fixed point set of a chosen maximal torus $T \subset K$. Since $κ_0$ is

研究の動機と目的

• モーメント写像の $0$ が正則値であるとき、シンプレクティック商 $\mathcal{M}_X = \mu^{-1}(0)/K$ のコホモロジー環構造を特定すること。
• 核の計算に代わる方法として、交差ペアリングを用いて $\kappa_0: H^*_K(X) \to H^*(\mathcal{M}_X)$ を提供すること。
• 任意の $\eta_0 \in H^*(\mathcal{M}_X)$ に対して $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ を計算する剰余公式を確立すること。
• 同じ技術を用いてウィッテンの非アーベル局所化公式の別証明を与えること。

提案手法

• 最大トーラス作用に対するアーベル局所化定理を用いて、押し出しを固定点寄与に表現する。
• $\mu^{-1}(0)$ の近傍におけるシンプレクティック形式の等置換正規形を適用して、局所的挙動を分析する。
• 最大トーラス $T \subset K$ の下での固定点成分 $F$ の $K$-軌道 $KF$ に沿って、等置換類 $\eta \in H^*_K(X)$ を制限する。
• 固定点成分ごとの重みとその積を含む和として $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ を評価する剰余公式（定理 8.1）を構成する。
• 等置換コホモロジーと商コホモロジーを結びつける標準的同型 $\pi_0^*: H^*(\mathcal{M}_X) \to H^*_K(\mu^{-1}(0))$ を用いる。
• 多項式恒等式と二項展開を用いて、$\kappa_0$ の核に属するクラスに対して剰余が消えることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメント写像の $0$ が正則値であるとき、$H^*(\mathcal{M}_X)$ を $H^*_K(X)$ からどのように計算できるか？
• RQ2 固定点データを用いて、$\mathcal{M}_X$ 上の最高次数クラスの評価を計算する剰余公式を導出可能か？
• RQ3 この剰余公式は、$H^*(\mathcal{M}_X)$ の生成子と関係式を決定する実用的手段を提供するか？
• RQ4 ウィッテンの非アーベル局所化公式は、この剰余アプローチを用いて再導出可能か？
• RQ5 特定の剰余項が消えるための条件は何か？また、これは $\kappa_0$ の核とどのように関係するか？

主な発見

• 剰余公式（定理 8.1）は、$T$-作用の固定点成分 $F$ における $\eta$ の制限と各 $F$ における重みの積を含む和として $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ を計算する。
• この公式により、交差ペアリングを介して $H^*_K(X)$ の生成子と関係式から $H^*(\mathcal{M}_X)$ の生成子と関係式を特定可能となる。
• $\kappa_0$ の核は、すべての $\eta$ に対して $\kappa_0(\eta) = \eta_0$ ならば $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ が消えることと同値であり、これは剰余公式の消えることに等しい。
• 剰余公式はウィッテンの非アーベル局所化公式の別証明に用いられ、固定点解析を通じてその妥当性が確認された。
• 多項式恒等式 $\sum_{k=0}^r (-1)^k \binom{r}{k} k^s = 0$（$s \leq r-2$）により、特定の剰余項が消えることが示された。これは $(1 - e^\lambda)^r$ の展開から導かれる。
• $K = SU(2)$ と $\mathbb{P}^N$ の場合、公式は $P_+(\xi,\alpha)$ と $P_-(\xi,\alpha)/\alpha$ が $H^*_K(\mathbb{P}^N) \to H^*(\mathcal{M}_X)$ の核を生成することを確認した。