[論文レビュー] Localization for THH(ku) and the topological Hochschild and cyclic homology of Waldhausen categories

Andrew J. Blumberg, Michael A. Mandell|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、ワルダウゼン圏のトポロジカル・ホッフ・ホモロジー（THH）およびトポロジカル・サイクル・ホモロジー（TC）に対する局在化コファイバー列を確立し、THHの局在化列に関する長年の混乱を解消する。$ H\mathbb{Z} \to ku $ の写像に対する相対的THHおよびTCを構成し、予想されていた列 $ THH(\mathbb{Z}) \to THH(ku) \to THH(ku|KU) \to \Sigma THH(\mathbb{Z}) $ を証明する。これにより、Hesselholtの $ \ell \to ku $ が滑らかに分岐しているとみなす立場が裏付けられ、$ V(1)_*K(KU) $ の簡略化された計算が可能になる。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Hesselholt and Ausoni-Rognes, establishing localization cofiber sequences of spectra for THH(ku) and TC(ku). These sequences support Hesselholt's view of the map l to ku as a "tamely ramified" extension of ring spectra, and validate the hypotheses necessary for Ausoni's simplified computation of V(1)_* K(KU). In order to make sense of the relative term THH(ku|KU) in the cofiber sequence and prove these results, we develop a theory of THH and TC of Waldhausen categories and prove the analogues of Waldhausen's theorems for K-theory. We resolve the longstanding confusion about localization sequences in THH and TC, and establish a specialized devissage theorem.

研究の動機と目的

• 代数的K理論と関連して、トポロジカル・ホッフ・ホモロジー（THH）における局在化列の存在と性質に関する長年の混乱を解消すること。
• スペクトラル圏を超えて、連結および非連結なバージョンを含む、ワルダウゼン圏に対するTHHおよびTCの理論を構築すること。
• 連結および非連結なスペクトラル圏の区別によって、THHにおける二種類の異なる局在化列（Hesselholt-Madsen型とThomason-Trobaugh型）を概念的に説明する枠組みを確立すること。
• THH(ku|KU)およびTC(ku|KU)の予想された局在化コファイバー列を証明し、代数的K理論からのトレース写像と整合すること。
• Ausoniの簡略化された計算に必要な仮定を裏付けることで、特に $ V(1)_*K(KU) $ における代数的K理論の新しい計算を可能にすること。

提案手法

• ワルダウゼン構造と単体的写像空間の間に強い整合性を持つ単体的圏を導入し、ホモトピー代数と整合するように保証する。
• ワルダウゼン圏に対するTHHおよびTCの二種類のバージョンを定義する：古典的K理論に近い連結バージョンと、ホモトピー的により良い振る舞いを示す非連結バージョン。両者が連結性の仮定の下で一致することを示す。
• 弱同値が $ ku $-加群と $ KU $-加群から混合されたものであるという、$ ku $-加群と $ KU $-加群の弱同値を混在させた方法により、相対的THHおよびTCの項 $ THH(ku|KU) $ と $ TC(ku|KU) $ を構成する。これは古典的代数的K理論には存在しない構成である。
• THHおよびTCにおけるデヴィッサージュ定理を証明し、ワルダウゼンの近似定理およびファイブレーション定理をTHHの文脈に一般化する。
• 理論を用いて、トレース写像と整合する局在化コファイバー列 $ THH(\mathbb{Z}) \to THH(ku) \to THH(ku|KU) \to \Sigma THH(\mathbb{Z}) $ を証明する。
• $ p $-局在および$ p $-完全な設定にまで結果を拡張し、$ K(\mathbb{W}\mathbb{F}_p[[u_1,\ldots,u_{n-1}]]) $、$ BP_n $、$ E_n $ に対して類似の列を証明する。$ BP_n $ は $ E_\infty $ 璏体スペクトルである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケラル圏を超えて、ワルダウゼン圏に対する整合的なトポロジカル・ホッフ・ホモロジー（THH）の理論を構築できるか？
• RQ2 THHに二種類の異なる局在化列が存在する理由は何か？そして、それらは代数的K理論の局在化列とどのように関係しているか？
• RQ3 弱同値が $ ku $-加群と $ KU $-加群から混合されたものである場合、相対的項 $ THH(ku|KU) $ をどのように意味的に定義できるか？
• RQ4 局在化列 $ THH(\mathbb{Z}) \to THH(ku) \to THH(ku|KU) \to \Sigma THH(\mathbb{Z}) $ が成り立ち、かつ代数的K理論からのトレース写像と整合するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、球面のK理論を計算するRognesプログラムを拡張でき、$ BP\langle n\rangle $ の代わりに $ E_\infty $ である $ BP_n $ を用いることができるか？
• RQ6 $ ku \to KU $ に対する相対的THHおよびTCは、Rognesが定義したログTHHおよびTCと同型であるか？

主な発見

• この論文は、$ ku $-加群と $ KU $-加群の弱同値を混合するという、理論における主要な技術的障壁を解消した、明確に定義された相対的THH項 $ THH(ku|KU) $ を構成する。
• 明示的な局在化コファイバー列 $ THH(\mathbb{Z}) \to THH(ku) \to THH(ku|KU) \to \Sigma THH(\mathbb{Z}) $ が証明され、HesselholtおよびAusoni-Rognesの予想が裏付けられる。
• トポロジカル・サイクル・ホモロジー（TC）に対しても類似の局在化列が確立される：$ TC(\mathbb{Z}) \to TC(ku) \to TC(ku|KU) \to \Sigma TC(\mathbb{Z}) $。これは代数的K理論からのトレース写像と整合する。
• ワルダウゼン圏に対するTHHおよびTCの理論は、連結および非連結の二種類のバージョンを含むように開発され、環および連結環スペクトルにおいて両者が一致することが示され、適切な連結性条件下で同値であることが証明される。
• $ p $-完全および $ p $-局在の場合に対しても類似の局在化列が証明される：$ THH(\mathbb{W}\mathbb{F}_p[[u_1,\ldots,u_{n-1}]]) \to THH(BP_n) \to THH(BP_n|E_n) \to \Sigma THH(\mathbb{W}\mathbb{F}_p[[u_1,\ldots,u_{n-1}]]) $ および $ TC $ に対しても同様。
• $ BP_n $ が $ E_\infty $ 璏体スペクトルであることが示され、これは $ BP\langle n\rangle $ が $ A_\infty $ にしか成り得ないのと比較して、大きな利点である。これにより、Rognesプログラムにおける計算に新しい枠組みがより適していることが明らかになる。