[論文レビュー] Localization in GWZW and Verlinde formula

A. Gerasimov|ArXiv.org|May 19, 1993

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 1被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、コンpakト群に対するゲージ化Wess-Zumino-Witten (GWZW) モデルの機能的積分が、フェルミオン的BRSTに類似した対称性に基づく局在化アプローチを用いて正確に解けることを示している。任意のリーマン面におけるSU(2)群の場合、分配関数は conformal block の数を計算し、正確な1ループ行列式と位相的セクター上の有限次元積分を通じて、Verlindeの公式を再現する。

ABSTRACT

Gauged Wess-Zumino-Witten theory for compact groups is considered. It is shown that this theory has fermionic BRST-like symmetry and may be exactly solved using localization approach. As an example we calculate functional integral for the case of SU(2) group on the arbitrary Riemann surface. The answer is the particular case of Verlinde formula for the number of conformal blocks.

研究の動機と目的

• GWZWモデルを正確に解くためのコhomological局在化法を確立すること。
• GWZWモデルの分配関数が、WZW理論における conformal block の空間の次元を計算することを示すこと。
• 自由理論およびトポロジカル理論を超えて、制約付きで可積分な2次元量子場理論にまで局在化アプローチを一般化すること。
• Verlindeの公式を通じて、GWZWの機能的積分とChern-Simons理論、およびモジュライ空間幾何学を結びつけること。
• 有限次元還元と1ループ行列式を用いた場の理論的導出により、Verlindeの公式を導出すること。

提案手法

• GWZW作用に内在するフェルミオン的BRSTに類似した対称性を活用し、経路積分の局在化を可能にする。
• 無限次元の機能的積分を、古典的解（平坦接続）およびゼロモード上の有限次元積分に還元する。
• Chern-Simons理論の枠組みを用いて、GWZWの分配関数を平坦接続のモジュライ空間のコhomologyと関連付ける。
• ゲージ固定作用とゴーストの寄与を用いて、古典的解まわりの2次摂動の1ループ行列式を計算する。
• 群要素のゲージ変換によるパラメータ表示を用い、作用の2次変動を対角化し、行列式の比を計算する。
• 1ループ寄与を通じてレベルkがk + c_vに再正規化されることを導出する。ここでc_vは双対コクセター数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GWZWモデルは、そのトポロジカルでも自由でもない性質にもかかわらず、局在化技術を用いて正確に解けるか？
• RQ2 GWZWにおけるBRSTに類似した対称性は、経路積分を有限次元積分に還元するためにどのように寄与するか？
• RQ3 GWZW分配関数とconformal blockのVerlindeの公式との間の正確な関係は何か？
• RQ4 GWZWモデルにおける1ループ補正は、古典的なconformal blockの次元に対する既知の量子補正をどのように再現するか？
• RQ5 局在化法は非コンパクト群や高ランク群へと拡張可能か？また、双対コクセター数は結果においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• genus g のリーマン面上のSU(2) GWZWモデルの分配関数は、離散的位相的セクター上の和として与えられ、Verlindeの公式を導く。
• 1ループ行列式比は (2 sin φ)^{-2(g-1)} の因子を寄与させ、SU(2)ではレベルシフト k → k + 2 をもたらし、既知の量子補正と整合する。
• 最終的な結果はVerlindeの公式と一致する： dim H^0(M^G; L^k) = ∑_{l=1}^{k+2} (2(k+2)^{g-1}) / (sin(2πl/(k+2)))^{2(g-1)}。
• 1つの自由度（ゼロモード）を正確に取り扱い、残りを準古典的に扱うことで、有限次元還元が達成される。これは固定点局在化の考えと整合する。
• 境界∂B = Σをもつ多様体Bにおける境界項を含む3次元拡張を通じて、作用が位相的に非自明なバンドルへ一般化される。
• この方法により、GWZWが分配関数がconformal blockの空間の次元を計算するトポロジカル量子場理論であることが確認される。