[論文レビュー] Localization in Homotopy Type Theory

J. Daniel Christensen, Morgan Opie+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文はホモトピー型理論における局所化理論を発展させ、点付きで単連結な型に対して、素数における局所化がすべてのホモトピー群に代数的p局所化を誘導することを確立する。反射的部分宇宙とL'-局所化の構成を用いて、ループ空間が局所化と可換であり、エイエンベルク＝マクレーン空間の局所化を完全に特徴づけることを証明し、直感的で構成的枠組みにおける代数的局所化のホモトピー的基盤を提供する。

ABSTRACT

We study localization at a prime in homotopy type theory, using self maps of the circle. Our main result is that for a pointed, simply connected type $X$, the natural map $X o X_{(p)}$ induces algebraic localizations on all homotopy groups. In order to prove this, we further develop the theory of reflective subuniverses. In particular, we show that for any reflective subuniverse $L$, the subuniverse of $L$-separated types is again a reflective subuniverse, which we call $L'$. Furthermore, we prove results establishing that $L'$ is almost left exact. We next focus on localization with respect to a map, giving results on preservation of coproducts and connectivity. We also study how such localizations interact with other reflective subuniverses and orthogonal factorization systems. As key steps towards proving the main theorem, we show that localization at a prime commutes with taking loop spaces for a pointed, simply connected type, and explicitly describe the localization of an Eilenberg-Mac Lane space $K(G,n)$ with $G$ abelian. We also include a partial converse to the main theorem.

研究の動機と目的

• 古典的原理（排中律や選択公理など）に依存せずに、ホモトピー型理論において構成的でホモトピー不変な局所化理論を構築すること。
• 点付きで単連結な型の素数pにおける局所化が、そのホモトピー群に代数的p局所化を誘導することを確立すること。
• L-分離型の部分宇宙を導入し、それが反射的であることを証明することで、反射的部分宇宙理論を一般化し、L'-局所化が重要なホモトピー的性質を保存することを示すこと。
• 局所化がループ空間および切断と可換であることを示し、エイエンベルク＝マクレーン空間の局所化の計算を可能にすること。
• 古典的ホモトピー論に依存せず、構成的で代数的な方法により、集合Sに対するアーベル群の局所化を証明すること。

提案手法

• 反射的部分宇宙Lを導入・研究し、特にその恒等型がL-局所化である型の部分宇宙（L-分離型）に注目する。
• L'-局所化をL-分離型の反射的部分宇宙として構成し、ジョイン構成と依存帰納法を用いてその反射性を証明する。
• 単位写像X → L'Xが恒等型にL-局所化を誘導することを証明し、ΩL'X ≃ LΩXが成り立つことを示し、局所化とループ空間の可換性を確立する。
• ユニバースの同一性を用いて、L'-局所化の制限付き依存除去原理を構成し、引き戻しとファイバー列の保存を可能にする。
• 写像fに対して、L = L_fのとき、部分宇宙L_{Σf}がL'-局所化に対応することを示し、ファミリーの写像による局所化に結果を移行可能であることを示す。
• ||f||_nが同値であるとき、L_fがn連結性を保存することを証明し、この性質を用いて局所化下での切断とファイバー列を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー型理論における素数pにおける局所化は、点付きで単連結な型のホモトピー群に代数的p局所化を誘導するか？
• RQ2 L-分離型の部分宇宙が反射的であることを示せるか？ また、その局所化関手L'は引き戻しやファイバー列といった重要なホモトピー的構造を保存するか？
• RQ3 構成的で直感主義的な枠組み（ホワイトヘッドの定理なし）において、局所化はループ空間および切断とどのように作用するか？
• RQ4 ホモトピー型理論において、写像fによる局所化がループ空間および切断作用素とどの程度可換であるか？
• RQ5 集合Sに対するアーベル群の代数的局所化は、古典的ホモトピー論に依存せず、構成的でホモトピー的な方法によって構成可能であり、同値性が証明可能か？

主な発見

• 任意の点付きで単連結な型Xと素数pに対して、自然な写像X → X_{(p)}は、すべてのホモトピー群π_n(X) → π_n(X_{(p)})（n ≥ 2）に代数的p局所化を誘導する。
• L-分離型の部分宇宙は反射的であり、その局所化関手L'はΩL'X ≃ LΩXを満たすため、局所化とループ空間が可換である。
• 素数における局所化は切断と可換であり、n ≥ 1に対して||L_{deg(S)}X||_n ≃ L_{deg(S)}||X||_nが成り立つ。
• Gがアーベル群であるとき、エイエンベルク＝マクレーン空間K(G,n)の局所化はK(G_{(S)},n)に一致する。ここでG_{(S)}はGのS局所化である。
• Sに対するアーベル群Gの局所化は、Sの元による乗法で繰り返し適用する列G → G → G → ... のコロイミットと同型であり、これはアーベル群の圏において有効である。
• 部分的な逆も成り立つ：点付きで単連結なn型X, Yの間の写像fがすべてのπ_m（m > 1）に代数的S局所化を誘導するならば、fはdeg(S)-局所化である。