[論文レビュー] Localization of equivariant cohomology rings of real Grassmannians

Chen He|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

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ひとこと要約

本稿では、同相局所化技術を用いて、実 Grassmannian および向き付けられた Grassmannian の有理的同相的コホモロジー環を計算し、同相的 Pontryagin および Euler 類を用いた Leray-Borel 述語の確認を行う。同相的特徴的多項式および Schubert 类を用いた加法的基底を提供し、Poincaré 級数、Littlewood-Richardson 係数、特徴的数を計算。主な結果として、重みの自乗写像を通じて通常の同相的特徴的数と同相的特徴的数を結ぶ関係が得られる。

ABSTRACT

We use localization method to understand the rational equivariant cohomology rings of real Grassmannians and oriented Grassmannians, then relate this to the Leray-Borel description which says the ring generators are equivariant Pontryagin classes, Euler classes in even dimension, and one more new type of classes in odd dimension, as stated by Casian and Kodama. We give additive basis in terms of equivariant characteristic polynomials and equivariant Schubert/canonical classes. We also calculate Poincaré series, equivariant Littlewood-Richardson coefficients and equivariant characteristic numbers. Since all these Grassmannians with torus actions are equivariantly formal, many results for equivariant cohomology have similar statements for ordinary cohomology.

研究の動機と目的

• 実 Grassmannian および向き付けられた Grassmannian の有理的同相的コホモロジー環を局所化法を用いて理解すること。
• 同相的 Pontryagin および Euler 類を用いた Leray-Borel 述語の再導出および確認すること。
• 同相的特徴的多項式および同相的 Schubert/標準的類を用いた加法的基底の構成すること。
• Poincaré 級数、同相的 Littlewood-Richardson 係数、同相的特徴的数の計算すること。
• 重みの自乗写像を介して同相的特徴的数と通常の特徴的数を関連付けること。

提案手法

• Torus の作用の固定点集合上の Grassmannian 上での同相的積分を計算するために ABBV 局所化公式を適用する。
• 固定点における等方的重みおよび正規バンドルのデータを用いて、局所化された同相的 Euler および Pontryagin 類を表現する。
• すべての Torus 作用付き Grassmannian が同相的に形式的であるという事実に依拠し、結果を通常のコホモロジーに移すことができる。
• 重みにおける対称関数を用いて同相的特徴的多項式を定義し、それらを Schubert 类に関連付ける。
• 写像 $ Sq: \alpha_i \mapsto \alpha_i^2 $ を用いて、複素 Grassmannian の同相的チャーン数を実 Grassmannian のポントリャーギン数に関連付ける。
• 一般に非ゼロの重み $ \alpha_i \in \mathbb{R} $、$ \alpha_i \neq \pm \alpha_j $ を局所化された式に代入することで特徴的数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実 Grassmannian の有理的同相的コホモロジー環はどのように局所化を用いて記述できるか？
• RQ2 特徴的多項式および Schubert 类を用いた同相的コホモロジー環の加法的基底は何か？
• RQ3 同相的 Littlewood-Richardson 係数および Poincaré 級数は Grassmannian の幾何にどのように関連しているか？
• RQ4 この文脈において、同相的特徴的数と通常の特徴的数の正確な関係は何か？
• RQ5 向き付けられた Grassmannian の 2 重被覆は同相的特徴的数にどのように影響するか？

主な発見

• $ G_{2k}(\mathbb{R}^{2n}) $ の有理的同相的コホモロジー環は、同相的 Pontryagin 類によって生成され、ホイットニー積公式からの関係を有する。
• 奇数次元の向き付けられた Grassmannian の場合、Casian と Kodama が指摘したように、Euler 類に類似した追加の類が環の記述に現れる。
• Poincaré 級数は局所化された ABBV 公式および重みデータを用いて計算される。
• 同相的特徴的数は重みにおける有理関数として計算され、局所化された式 $ \frac{1}{\prod_{i\in S}\prod_{j\not\in S}(\alpha_j^2 - \alpha_i^2)} $ をとる。
• 通常の特徴的数は、局所化された式に $ \alpha_i = i $ または $ \alpha_i = \sqrt{i} $ を代入することで回復される。
• 正確な関係として、$ \int_{\tilde{G}_{2k}(\mathbb{R}^{2n})} p^I = 2 \int_{{G}_{2k}(\mathbb{R}^{2n})} p^I $ が成り立ち、他の被覆に対しても同様である。これは 2 重被覆写像および特徴的類の自然性による。