[論文レビュー] Localization of quantum walks induced by recurrence properties of random walks

Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的ランダムウォーク（RW）の再帰的性質と、Szegedy型量子ウォーク（QW）における局在化の直接的な関連を確立する。局在化は、RWのℓ²固有ベクトルおよび固有値±1をとる直交補空間ℋ^(S)に起因しており、特にRWが正再帰的であれば局在化が生じることを示している。また、単一の自己ループですら、そうでない場合に一時的であるRWに対しても局在化を引き起こす可能性がある。

ABSTRACT

We study a quantum walk (QW) whose time evolution is induced by a random walk (RW) first introduced by Szegedy (2004). We focus on a relation between recurrent properties of the RW and localization of the corresponding QW. We find the following two fundamental derivations of localization of the QW. The first one is the set of all the $\ell^2$ summable eigenvectors of the corresponding RW. The second one is the orthogonal complement, whose eigenvalues are $\pm 1$, of the subspace induced by the RW. In particular, as a consequence, for an infinite half line, we show that localization of the QW can be ensured by the positive recurrence of the corresponding RWs, and also that the existence of only one self loop affects localization properties.

研究の動機と目的

• 古典的ランダムウォークの再帰的性質と量子ウォークにおける局在化の関係を調査すること。
• 量子ウォークが局在化を示す構造的・スペクトル的条件を特定すること。
• 無限グラフにおける局在化において、直交補空間ℋ^(S)の果たす役割を分析すること。
• 自己ループが無限半直線上の量子ウォークにおける局在化行動に与える影響を特定すること。

提案手法

• Szegedy型量子ウォーク作用素W = U²の固有系を解析し、ヒルベルト空間をRWに由来するℋ^(R)とその直交補空間ℋ^(S)に分解する。
• ℋ^(S)の固有値が±1であり、その重複度がRWの固有値および自己ループの数に依存することを特定する。
• 時間平均極限測度を用いて、特に標準分布が保証されない無限系において、測度が正である場合に局在化を定義する。
• スペクトル論を用いて、RWのℓ²可summable固有ベクトルとQWにおける局在化を関連付ける。
• 正再帰的RWの定常分布を用いて、時間平均極限測度の下界を導出する。
• 自己ループがℋ^(S)の次元および局在化に与える影響を評価する。特に無限半直線グラフにおいて。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ランダムウォークの再帰的性質は、対応する量子ウォークにおける局在化にどのように影響するか？
• RQ2 無限グラフにおける量子ウォークの局在化を決定づける要因として、直交補空間ℋ^(S)が果たす役割は何か？
• RQ3 自己ループが1つだけ存在する場合でも、元のランダムウォークが一時的であっても、量子ウォークにおける局在化を誘発できるか？
• RQ4 自己ループの数がℋ^(S)の次元およびそれによる局在化行動に与える影響は何か？
• RQ5 量子ウォークの時間平均極限測度が正のままである条件は何か、これは局在化を示唆する。

主な発見

• 量子ウォークにおける局在化は、対応する古典的ランダムウォークのℓ²可summable固有ベクトルに起因して本質的に駆動される。
• 固有値±1をとる直交補空間ℋ^(S)は、特に初期状態がそれ自身に非ゼロの射影を持つ場合、局在化に顕著に寄与する。
• 無限半直線において、RWの正再帰性が、スペクトルギャップが存在しない場合でさえも、量子ウォークの局在化を保証する。
• 単一の自己ループですら、局在化を示さない量子ウォークを、RWが一時的であっても局在化を示すものに変える可能性がある。
• 量子ウォークの時間平均極限測度は、正再帰的RWの定常分布によって下界が与えられ、局在化の定量的下界を提供する。
• 時間平均測度における欠落値（1−c₀）は、球面的拡散と関連し、Konno密度関数を含む弱極限定理を用いて特徴づけられる。