[論文レビュー] Localization of virtual classes

T.M. Graber, Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Aug 1, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、代数的スキーム上の $\mathbb{C}^{*}$-等配完全障害理論に対して、仮想基本類を固定点成分の和として表現する仮想局所化公式を確立する。各成分は仮想正規バンドルの逆等配エーラー類で重み付けられる。主な貢献は、特異的かつスタック的モジュライ空間（例：$\overline{M}_{g,n}(\mathbf{P}^r,d)$）に対し、一般化された代数的局所化公式を等配チャウ理論に導入し、古典的結果を拡張することにある。

ABSTRACT

We prove a localization formula for virtual fundamental classes in the context of torus equivariant perfect obstruction theories. As an application, the higher genus Gromov-Witten invariants of projective space are expressed as graph sums of tautological integrals over moduli spaces of stable pointed curves (generalizing Kontsevich's genus 0 formulas). Also, excess integrals over spaces of higher genus multiple covers are computed.

研究の動機と目的

• 代数的スキーム上の $\mathbb{C}^{*}$-等配完全障害理論の文脈において、仮想基本類の仮想局所化公式を開発すること。
• 非特異多様体から特異的およびDeligne-Mumfordスタックの設定へ、局所化技法を拡張すること、特に安定写像のモジュライ空間を対象とする。
• 射影空間および同調空間のGromov-Witten不変量を、固定点集合上のグラフ和を用いて体系的に計算する方法を提供すること。
• Calabi-Yau 3-fold幾何における過剰積分（例：$\overline{M}_{g,0}(\mathbf{P}^1,d)$ 上の積分）を仮想局所化により評価すること。
• 局所化後に等配チャウ群における押し出し写像の全射性および単射性を確立し、スタック的設定における局所化公式の妥当性を保証すること。

提案手法

• Li-TianおよびBehrend-Fantechiの完全障害理論フレームワークを用いて、等配チャウ群 $A_*^{\mathbb{C}^*}(X)$ 内に仮想基本類 $[X]^{\text{vir}}$ を構成する。
• 固定点スキーム $X^f = \bigcup X_i$ を定義し、各成分 $X_i$ に固定された完全障害理論を導入し、$[X_i]^{\text{vir}} \in A_*(X_i)$ を得る。
• 仮想接空間の動く部分から仮想正規バンドル $N_i^{\text{vir}}$ を構成し、その等配エーラー類 $e(N_i^{\text{vir}})$ を定義する。
• 有理同値とVistoliの公式を用いて、$A_*^{\mathbb{C}^*}(X) \otimes \mathbb{Q}[t, 1/t]$ 内で局所化公式 $[X]^{\text{vir}} = \iota_* \sum \frac{[X_i]^{\text{vir}}}{e(N_i^{\text{vir}})}$ を証明する。
• 非特異的環境多様体 $Y$ に $\mathbb{C}^{*}$-作用を導入し、制限およびコーン操作を用いて $X$ に対して結果を導出する。
• $U = Y \setminus Y^f$ に対して $A_*^{\mathbb{C}^*}(U)$ が局所化後に消失することを用い、局所化後に押し出し写像 $\iota_*$ が同型であることを証明し、公式の妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点成分に、$\mathbb{C}^{*}$-等配代数的スキームに完全障害理論が与えられたとき、その仮想基本類をどのように局所化できるか。
• RQ2 特異的およびスタック的モジュライ空間における等配チャウ理論における仮想局所化公式の正確な形は何か。
• RQ3 仮想局所化から導かれるグラフ和公式により、$\mathbf{P}^r$ のGromov-Witten不変量を計算できるか。
• RQ4 genus $g=1$ の場合、$\int_{[\overline{M}_{g,0}(\mathbf{P}^1,d)]^{\text{vir}}} c_{\text{top}}(R^1\pi_*\mu^*N)$ の値は何か。
• RQ5 $V$ が $\mathbb{C}^{*}$-作用をもつ場合、$\overline{M}_{g,n}(V,\beta)$ のような固有的Deligne-Mumfordスタックに対し、仮想局所化公式は成立するか。

主な発見

• 仮想局所化公式 $[X]^{\text{vir}} = \iota_* \sum \frac{[X_i]^{\text{vir}}}{e(N_i^{\text{vir}})}$ は、$\mathbb{C}^{*}$-等配完全障害理論に対して $A_*^{\mathbb{C}^*}(X) \otimes \mathbb{Q}[t, 1/t]$ 内で成立する。
• $\overline{M}_{g,n}(\mathbf{P}^r,d)$ に対しては、Gromov-Witten不変量が、$\overline{M}_{g',n'}$ 上でのチャーン類の積分を含む頂点項をもつグラフ和公式により計算される。
• genus $g=0$ の過剰積分は $\overline{M}_{0,0}(\mathbf{P}^1,d)$ 上で $1/d^3$ に評価され、Maninの結果を確認する。
• genus $g=1$ の過剰積分は $1/(12d)$ に評価され、BCOVの物理的予測と一致し、高 genus に対する予想を検証する。
• $V$ が $\mathbb{C}^{*}$-作用をもつ同調空間であるとき、$\overline{M}_{g,n}(V,\beta)$ に対し公式は成立し、安定写像のモジュライ空間上で局所化が可能になる。
• 局所化後に押し出し写像 $\iota_*: A_*^{\mathbb{C}^*}(Y^f) \to A_*^{\mathbb{C}^*}(Y)$ は同型であるため、Deligne-Mumfordスタック上での局所化フレームワークの一貫性が保証される。