[論文レビュー] Localization of Vortex Partition Functions in $\mathcal{N}=(2,2) $ Super Yang-Mills theory

Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、$χ=(2,2)$ $U(N)$ 超ヤンミルズ理論に $N$ 個の基本的フェルミオン多重項を含む場合、等化局在法を用いてねじれ関数を計算している。$χ=(4,4)$ 理論を質量項で変形し、$Q$-正確な作用に等化局在法を適用することで、ねじれ関数は $N$ 個の1次元分割の $N$-重に局在化し、ねじれ質量と等化パラメータを用いた K-理論的表現が得られる。アーベルの場合、これは $\mathbb{C}P^{N-1}$ グロモフ・ウィッテン不変量に関連する指数的生成関数に還元される。

ABSTRACT

In this article, we study the localizaiton of the partition function of BPS vortices in $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ super Yang-Mills theory with $N$-flavor on $\R^2$. The vortex partition function for $\mathcal{N}=(2,2)$ super Yang-Mills theory is obtained from the one in $\mathcal{N}=(4,4)$ super Yang-Mills theory by mass deformation. We show that the partition function can be written as $Q$-exact form and integration in the partition functions is localized to the fixed points which are related to $N$-tuple one dimensional partitions of positive integers.

研究の動機と目的

• $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 超ヤンミルズ理論に $N$ 個の基本的フェルミオン多重項を含むねじれ関数を計算すること。
• 2次元 $\mathcal{N}=(2,2)$ 理論における非アーベルねじれモジュライ空間への等化局在法の拡張。
• ねじれモジュライ空間を記述するケーラー商空間の等化特性から K-理論的ねじれ関数を導出すること。
• ねじれ関数と $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ の $J$-関数との関係を、$N_f$ が非常に大きい極限で確立すること。

提案手法

• パス積分をねじれモジュライ空間内の固定点に局在化するための $Q$-正確な変形の使用。
• 超ポテンシャルの大きな質量極限を経て、$\mathcal{N}=(4,4)$ から $\mathcal{N}=(2,2)$ 理論への質量変形。
• ねじれ質量を含む $U(N)$ ゲージ理論と $N$ 個の基本的フェルミオン多重項への等化局在法の適用。
• ねじれモジュライ空間 $\mathcal{M}_{k,N}$ の接空間特性を表現空間の商として計算。
• $V$, $W$, $Q$ の特性を用いて K-理論的関数を導出。$V$ は $N$-重の分割を符号化する。
• $\beta \to 0$ の極限をとることで、K-理論的形からコhomological（場の理論）関数を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 超ヤンミルズ理論に $N$ 個の基本的フェルミオン多重項を含む場合、等化局在法の下でねじれ関数はどのように振る舞うか？
• RQ2 ねじれ質量が存在する場合、ねじれモジュライ空間 $\mathcal{M}_{k,N}$ の構造は何か？また、$U(1)^N$ 対称性の下でどのように分解されるか？
• RQ3 ねじれモジュライ空間のケーラー商構成の等化特性から K-理論的ねじれ関数を導出できるか？
• RQ4 ねじれ関数のアーベル極限は、$\mathbb{C}P^{N-1}$ の $J$-関数とどのように関係するか？
• RQ5 非アーベルねじれ関数と、$N_f$ が非常に大きい極限におけるグラスマン多様体 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ の $J$-関数との関係は何か？

主な発見

• $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 理論におけるねじれ関数は、正の整数の $N$-重の1次元分割でラベル付けられた固定点に局在化する。
• K-理論的ねじれ関数は、$ Z^\text{K-theoretic} = \sum_{k=0}^\infty e^{2\pi(r+i\theta)k} \sum_{k_1+\cdots+k_N=k} \prod_{i,\tilde{i}=1}^N \prod_{l_i=1}^{a_i} \prod_{j_i=1}^{b_i} \frac{1}{(1 - Q_{\tilde{i}i} q^{k_{\tilde{i}}+1-l_i})(1 - Q_{\tilde{i}i} q^{1-j_i})} $ で与えられ、$ a_i = \min(k_i, k_{\tilde{i}}) $、$ b_i = \max(k_i - k_{\tilde{i}}, 0) $ である。
• アーベルの場合（$N=1$）、関数は $ Z = \exp\left( \frac{e^{2\pi(r+i\theta)}}{\epsilon} \right) $ に簡略化され、これは $\mathbb{C}P^0$ グロモフ・ウィッテン不変量の生成関数と一致する。
• コhomological極限（$\beta \to 0$）では、場の理論関数が得られる：$ Z = \sum_{k=0}^\infty e^{2\pi(r+i\theta)k} \sum_{k_1+\cdots+k_N=k} \prod_{i,\tilde{i}=1}^N \prod_{l_i=1}^{a_i} \prod_{j_i=1}^{b_i} \frac{1}{((k_{\tilde{i}}+1-l_i)\epsilon - m_{i\tilde{i}})((1-j_i)\epsilon - m_{i\tilde{i}})} $。
• 結果は、特に強い結合極限においてモジュライ空間が $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ への正則写像の空間に一致する場合、非アーベルねじれに一般化可能であることを示唆している。
• $U(1)$ に $N_f$ 個のフレーバーを含む関数が $\mathbb{C}P^{N_f-1}$ の $J$-関数と関係しており、生成関数の幾何的解釈が得られる。