[論文レビュー] Localization properties of squeezed quantum states in nanoscale space domains

А. С. Трушечкин, И. В. Волович|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、円や無限井戸などの有界区間上における圧縮量子状態の族を構築し、ナノスケール領域における局在化特性を分析する。θ関数と切り捨てられたガウス関数を用いてコherent状態および圧縮状態を一般化することで、位置分散が約0.1 nm、運動量分散が約10⁻²⁴ kg·m/sに達することを定量的に示し、ナノテクノロジー応用における実現可能な量子粒子の局在化を示している。

ABSTRACT

We construct families of squeezed quantum states on an interval (depending on boundary conditions, we interpret the interval as a circle or as the infinite square potential well) and obtain estimates of position and momentum dispersions for these states. A particular attention is paid to the possibility of proper localization of a particle in nanoscale space domains. One of the constructed family of squeezed states is based on the theta function. It is a generalization of the known coherent and squeezed states on the circle. Also we construct a family of squeezed states based on truncated Gaussian functions and a family of wave packets based on the discretization of an arbitrary continuous momentum probability distribution. The problem of finiteness of the energy dispersion for the squeezed states in the infinite well is discussed. Finally, we perform the limit of large interval length and the semiclassical limit. As a supplementary general result, we show that an arbitrary physical quantity has a finite dispersion if and only if the wave function of a quantum system belongs to the domain of the corresponding self-adjoint operator. This can be regarded as a physical meaning of the domain of a self-adjoint operator.

研究の動機と目的

• 量子ドットや量子ウェアなど、ナノスケールの空間領域における量子粒子の高精度な局在化の可能性を調査すること。
• 無限井戸や円のような1次元有界系に、標準的な不確定性関係が直接適用されない状況において、圧縮状態の概念を拡張すること。
• このような状態における位置および運動量分散の厳密な推定値を提供し、有限エネルギー分散などの物理的制約を満たしていることを保証すること。
• 自己共役作用素の定義域の物理的意味を明確にし、観測可能な分散の有限性と関連付けること。

提案手法

• 有限領域における積分を用いた正規化および分散解析により、切り捨てられたガウス波動関数を用いて区間上での圧縮状態を構築し、分散を分析する。
• ヤコビのθ関数に基づく圧縮状態の族を導入し、既知の円形coherent状態および圧縮状態を有界幾何に一般化する。
• 連続的な運動量確率分布の離散化により、第三の状態族を定義し、運動量分散の柔軟な制御を可能にする。
• 大区間極限および半古典的領域における漸近的解析を適用し、標準量子力学との一貫性を検証する。
• 自己共役作用素の理論を用いて、物理的観測量の分散が有限であるための必要十分条件が、波動関数が作用素の定義域に属することであることを確立する。
• フーリエ解析および三角関数和の推定を用いて、位置および運動量分散の上限を導出し、コサイン級数の部分和の上限を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子井戸やリングのような有界ナノスケール領域において、量子粒子をサブナノメートル級の精度で局在化させることは可能か？
• RQ2 無限直線とは異なり、有界区間における位置と運動量の不確定性関係は、どのように異なるか？
• RQ3 無限井戸に閉じ込められた圧縮状態において、エネルギーおよび運動量分散が有限のまま保たれる条件は何か？
• RQ4 特に観測可能な分散の有限性に関連して、自己共役作用素の定義域の物理的意味は何か？
• RQ5 円または区間上に、標準的なハイゼンベルクの不確定性関係が直線状の状態に漸近的に達するような圧縮状態を構築できるか？

主な発見

• 100 nmの区間に対して、位置標準偏差Δx ≈ 0.1 nm、運動量標準偏差Δp ≈ 10⁻²⁴ kg·m/sの波束を構築した。これはサブナノメートル級の局在化を示している。
• θ関数に基づく圧縮状態の族は、既知の円形coherent状態および圧縮状態を一般化し、コンパクト多様体上での高精度な局在化を可能にする。
• 離散化に基づく構成（定理3）により、Δp ≈ 10⁻²⁰ kg·m/sのときΔx ≤ 0.1 nmが保証され、粗い推定値にもかかわらずナノスケールの局在化に十分である。
• 無限井戸における有限エネルギー分散は、波動関数がハミルトニアン作用素の定義域に属する場合にのみ達成可能であり、これは必要十分条件であることが示された。
• 任意の物理的観測量の分散が有限であるための必要十分条件は、波動関数が対応する自己共役作用素の定義域に属することである。これはこの数学的概念の直接的な物理的解釈を確立する。
• 大区間極限において、区間上での圧縮状態は、実数直線上の標準的なcoherent状態および圧縮状態に漸近的に近づく。これは標準量子力学との一貫性を確認する。