[論文レビュー] Localization transition on the Random Regular Graph as an unstable tricritical point in a log-normal Rosenzweig-Porter random matrix ensemble

V. E. Kravtsov, Ivan M. Khaymovich+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2020

Quantum many-body systems参考文献 40被引用数 55

ひとこと要約

本論文は、対称性パラメータ p を持つ対数正規 Rosenzweig-Porter (LN-RP) ランダム行列系を導入し、ガウス RP と Lévy 系列を補間する。p=1 に対応する tricritical point を random regular graphs での Anderson 局在と同定し、multifractal 相はそこに収縮するが、対数正規尾の切り捨てには不安定であることを示す。

ABSTRACT

Gaussian Rosenzweig-Porter (GRP) random matrix ensemble is the only one in which the robust multifractal phase and ergodic transition have a status of a mathematical theorem. Yet, this phase in GRP model is oversimplified: the spectrum of fractal dimensions is degenerate and the mini-band in the local spectrum is not multifractal. In this paper we suggest an extension of the GRP model by adopting a logarithmically-normal (LN) distribution of off-diagonal matrix elements. A family of such LN-RP models is parametrized by a symmetry parameter $p$ and it interpolates between the GRP at $p ightarrow 0$ and Levy ensembles at $p ightarrow\infty$. A special point $p=1$ is shown to be the simplest approximation to the Anderson localization model on a random regular graph.We study in detail the phase diagram of LN-RP model and show that $p=1$ is a tricritical point where the multifractal phase first collapses. This collapse is shown to be unstable with respect to the truncation of the log-normal distribution. We suggest a new criteria of stability of the non-ergodic phases and prove that the Anderson transition in LN-RP model is discontinuous at all $p>0$.

研究の動機と目的

• Anderson 局在を many-body 局在の代理として random regular graphs 上で研究するモチベーションを与える。
• RRG の特徴をよりよく捉えるために、オフ対角成分の対数正規分布を用いた Rosenzweig-Porter モデルを拡張する。
• LN-RP 相図を描き、multifractality が崩壊する tricritical point を同定する。
• 非エルゴード相の安定性の基準を構築し、エルゴード遷移の頑健性を評価する。

提案手法

• 対角外成分の対数正規分布と対称性パラメータ p を持つ LN-RP モデルを定義する。
• LN-RP を effective な長距離ホッピングとファットテールド・ホッピング分布を介して RRG と関連づける。
• 局在化 (S1) および Mott ergodicity (S2) 基準を用いて、エルゴード相、multifractal 相、局在化相の境界を導出する。
• 固有関数統計を特徴づけ、遷移を特定するために KL1 および KL2 を使用する。
• critical points gamma_ET と gamma_AT およびべき指数 nu1, nu2 を抽出するための有限サイズスケーリングと数値計算を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LN-RP の p と gamma に対する相図は、Gaussian RP と Lévy 系列をどのように補間するか？
• RQ2 p=1 で tricritical point は存在するのか、multifractality はこの点の近傍で安定か不安定か？
• RQ3 KL1 および KL2 は LN-RP におけるエルゴード、局在化、multifractal 相をどう検出するか？
• RQ4 対数正規尾の切り捨ては非エルゴード相の安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 LN-RP における localization と ergodic 遷移の有限サイズスケーリング特性と臨界指数は何か？

主な発見

• LN-RP モデルは、エルゴード、multifractal、局在化の3つの相を示し、遷移は tricritical point p=1 および gamma=4 で統合される。
• multifractal 相は p=1 で崩壊するが、この崩壊は対数正規分布尾の切り捨てに対して不安定である。
• エルゴード遷移は p>=1 に対して脆弱となり、切り捨てによりより小さな gamma へ移動し、multifractal 相を再導入する。
• KL1 は局在化遷移に敏感で、KL2 はエルゴード遷移に敏感であり、有限サイズスケーリングの明確な挙動が観測される。
• p>1 の場合、数値・解析結果は gamma_ET および gamma_AT の値が導出式と整合し、指数 nu1 および nu2 は p に依存し、p>=1 で平均場値に近づく。
• 提案された基準と解析によれば、LN-RP の Anderson 遷移はすべての p>0 に対して不連続である。