[論文レビュー] Localizations and completions in motivic homotopy theory

LG Mantovani|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、完備体 $K$ 上のモチビックホモトピー理論において、$E$-ホモロジー局域化と $E$-ニルポテンツコンプリート化が、妥当な条件下で一致することを確立している。これは、古典的安定ホモトピー理論における古典的結果の一般化である。この同値性は、可換代数における形式的コンプリート化または局域化を通じて表現され、$E$-ベースのモチビックアダムズ＝ノヴィコフスペクトル系列の収束基準を提供する。

ABSTRACT

Let $K$ be a perfect field and let $E$ be a homotopy commutative ring spectrum in the Morel-Voevodsky stable motivic homotopy category $\mathcal{SH}(K)$. In this work we investigate the relation between the $E$-homology localization and $E$-nilpotent completion of a spectrum X. Under reasonable assumptions on $E$ and $X$ we show that these two operations coincide and can be expressed in terms of formal completions or localizations in the usual sense of commutative algebra. We deduce convergence criteria for the $E$-based motivic Adams-Novikov spectral sequence.

研究の動機と目的

• モチビック安定ホモトピー圏 $\mathcal{SH}(K)$ における $E$-ホモロジー局域化と $E$-ニルポテンツコンプリート化の関係を明確化すること。
• 古典的ホモトピー理論からの古典的結果を完備体 $K$ 上のモチビック設定に拡張すること。
• 可換代数における形式的コンプリート化および局域化を用いて、これらの構成の代数的記述を提供すること。
• $E$-ベースのモチビックアダムズ＝ノヴィコフスペクトル系列の収束基準を確立すること。
• 局域化とコンプリート化のアダムズ＝ブースフィールド同値性をモチビック文脈に一般化すること。

提案手法

• 完備体 $K$ に対して、モアル＝ヴェドヴォスキーの安定モチビックホモトピー圏 $\mathcal{SH}(K)$ を用いる。
• スペクトルの極限を分析するために、プロツアーとプロ同型の理論を適用する。
• ホモトピー加群との関係を確立し、プロ弱同値を導くために、ポストニコフツアー射影を用いる。
• 連結スペクトルが十分に高い次数でホモトピー加群に同型を誘導することを活用し、ツアーの比較を行う。
• 分数の計算を用いて、$\mathcal{SH}(K)$ 内の局域化ファンクターとして $E$-局域化を定義する。
• プロツアー技術とホモトピー加群の解析を通じて、$E$-ニルポテンツコンプリート化と $E$-ホモロジー局域化の同値性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチビックホモトピー理論において、$E$-ホモロジー局域化と $E$-ニルポテンツコンプリート化がどのような条件下で一致するか。
• RQ2 $E$-ベースのモチビックアダムズ＝ノヴィコフスペクトル系列が、代数的記述が可能なスペクトルに収束することを示せるか。
• RQ3 $\mathcal{SH}(K)$ において、古典的アダムズ＝ブースフィールド結果のモチビック類似がどの程度確立できるか。
• RQ4 $\mathcal{SH}(K)$ 内のプロツアーとプロ同型は、局域化とコンプリート化の比較をどのように支援するか。
• RQ5 連結スペクトルとポストニコフ切断は、スペクトル系列におけるプロ弱同値を確立するために果たす役割は何か。

主な発見

• スペクトル $X$ が $\mathcal{SH}(K)$ 内にあるとき、$E$ と $X$ に対して妥当な仮定が成り立つ限り、$E$-ホモロジー局域化と $E$-ニルポテンツコンプリート化は同値である。
• この同値性は、可換代数における形式的コンプリート化または局域化の意味で実現され、古典的結果の一般化である。
• $E$-ベースのモチビックアダムズ＝ノヴィコフスペクトル系列は、$X$ の $E$-ニルポテンツコンプリート化に条件付きで収束し、今や明示的に記述可能である。
• $\mathcal{SH}(K)$ 内のプロツアーのプロ同型は、インデックスの再インデックス化および下位インデックスへの写像を含む可換図式を通じて特徴づけられる。
• ツアーからそのポストニコフツアーへの射影はプロ弱同値を誘導し、連結 $E$ に対して $E\wedge -$ を適用してもこの性質は保たれる。
• ツアーがプロコントラクトであることは、そのホモトピー加群がゼロへのプロ同型であることに同値であり、これはプロ圏における自明性の特徴づけである。