[論文レビュー] Localizations of Groups

Rüdiger Göbel, Saharon Shelah|ArXiv.org|Sep 8, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化連続体仮説（GCH）を仮定しないZFCにおいて、任意の有限非アーベル単純群が任意に大きな基数の局所化をもつことを確立する。組合せ群論の技術と、余完備自由アーベル群の剛性のある族の存在を用いて、任意の無限基数µに対してλ = µ⁺の後続基数をもつ単純群Hを構成する。このHは、与えられた適切な群の族に属するすべての群を普遍的に埋め込み、すべての単準同型が内部自己同型であり、すべての局所化が自明に拡張可能であることを保証する。

ABSTRACT

A group homomorphism eta:A-> H is called a localization of A if every homomorphism phi:A-> H can be `extended uniquely' to a homomorphism Phi:H-> H in the sense that Phi eta = phi. This categorical concepts, obviously not depending on the notion of groups, extends classical localizations as known for rings and modules. Moreover this setting has interesting applications in homotopy theory. For localizations eta:A-> H of (almost) commutative structures A often H resembles properties of A, e.g. size or satisfying certain systems of equalities and non-equalities. Perhaps the best known example is that localizations of finite abelian groups are finite abelian groups. This is no longer the case if A is a finite (non-abelian) group. Libman showed that A_n-> SO_{n-1}(R) for a natural embedding of the alternating group A_n is a localization if n even and n >= 10 . Answering an immediate question by Dror Farjoun and assuming the generalized continuum hypothesis GCH we recently showed in math.LO/9912191 that any non-abelian finite simple has arbitrarily large localizations. In this paper we want to remove GCH so that the result becomes valid in ordinary set theory. At the same time we want to generalize the statement for a larger class of A 's.

研究の動機と目的

• 従来の有限非アーベル単純群の局所化に関する結果における一般化連続体仮説（GCH）への依存を排除すること。
• 単純群に限らない、中心が自明で、自己同型群が完全な「適切な」有限群の広いクラスへ、大きな局所化の存在を一般化すること。
• 任意に大きな基数λ = µ⁺をもつ群Hを、与えられた適切な群の族に属するすべての群を内部自己同型によって誘導される単準同型で普遍的に埋め込むこと。
• すべての単準同型H → Hが内部自己同型であることを示し、局所化性が普遍的に成り立つように保証すること。

提案手法

• 任意の無限基数µに対して、順序数でインデックスが付けられた群の階層Hαj(ε)を用いた直接極限の手続きにより、基数λ = µ⁺をもつ群Hを構成する。
• 埋め込みの一意性と中心化子の制御のため、余完備自由アーベル群の剛性のある族{Ui : i < κ}を用いる。
• 文献[5]における大きな剛性のあるアーベル群の族の存在定理を用いて、GCHやハート–ラフラム–シェラの組合せ的ゲームに依存しないようにする。
• モデル理論的ブラックボックス（ブラックボックス5.1）を適用し、λの静的部分集合内で埋め込みと部分モデルを予測することで、普遍的埋め込み性を保証する。
• 中心化子に条件を課す：適切な群Aの同型コピーA′ ⊆ Hに対して、中心化子cHA′は自明である。これにより、埋め込みの剛性が保証される。
• 任意の単準同型ϕ: A → H（A ∈ A）が、あるh ∈ Hによる共役によって生じることを証明し、局所化が普遍的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化連続体仮説（GCH）を仮定せずに、ZFCにおいて有限非アーベル単純群に対して任意に大きな局所化の存在を確立できるか？
• RQ2 有限群の族が、任意に大きな基数の普遍的局所化をもつためには、どのような構造的性質を満たしている必要があるか？
• RQ3 大きな群Hにおいて、埋め込みの剛性と自明な中心化子をどのように強制することで、すべての単準同型が内部自己同型になるようにできるか？
• RQ4 単純群から「適切な」群（有限、自明な中心、完全な自己同型群）の広いクラスへ、この構成をどの程度一般化できるか？
• RQ5 モデル理論的予測原理（ブラックボックスなど）を用いて、組合せ的集合論的仮定なしに群論における普遍的局所化を構成できるか？

主な発見

• 任意の無限基数µに対して、基数λ = µ⁺をもつ単純群Hが存在し、その任意の単準同型H → Hは内部自己同型である。
• 適切な群の族に属する任意の群Aは、Hにおける共役によって誘導される単準同型でHに埋め込まれ、そのような群の2つの異なるコピーは自明に交わる。
• 適切な群Aの同型コピーA′ ⊆ Hの中心化子は自明であるため、埋め込みにおける強い剛性が保証される。
• この構成はGCHや組合せ的ゲームを避け、余完備自由アーベル群の剛性のある族とモデル理論的ブラックボックスの存在に依存する。
• この結果により、任意の有限非アーベル単純群Aに対して、ZFCにおいて任意に大きな基数の局所化が存在することが示され、ドロール・ファルジュンの問いに答えている。
• 定理1.3により、Eilenberg–MacLane空間K(A,1)は、ZFCにおいて、互いに異なるホモトピー型の族を無限に持ち、それらすべてが局所化であることが確認される。