[論文レビュー] Localized BMO and BLO Spaces on RD-Spaces and Applications to Schrödinger Operators

Dachun Yang, Dongyong Yang+1 more|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、シュレーディンガー作用素から導かれる適切な関数 ρ を用いて、RD-空間上での局所化された BMO および BLO 空間、BMOρ(X) と BLOρ(X) を導入する。BMOρ(X) に対してジョン＝ニレングラスの不等式を確立し、BLOρ(X) に対して同値な特徴づけを示し、これらの空間上で主要な作用素である最大関数、g-関数、径方向最大関数の有界性を証明する。これにより、ユークリッド空間上でのシュレーディンガー作用素および部分ラプラシアン作用素に対して新たな結果が得られる。特に、ヒルベルト群、可解なノルム群、および一般のRD-空間上での応用が得られる。

ABSTRACT

An RD-space ${\mathcal X}$ is a space of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss with the additional property that a reverse doubling condition holds in ${\mathcal X}$. Let $ρ$ be an admissible function on RD-space ${\mathcal X}$. The authors first introduce the localized spaces $\mathrm{BMO}_ρ({\mathcal X})$ and $\mathrm{BLO}_ρ({\mathcal X})$ and establish their basic properties, including the John-Nirenberg inequality for $\mathrm{BMO}_ρ({\mathcal X})$, several equivalent characterizations for $\mathrm{BLO}_ρ({\mathcal X})$, and some relations between these spaces. Then the authors obtain the boundedness on these localized spaces of several operators including the natural maximal operator, the Hardy-Littlewood maximal operator, the radial maximal functions and their localized versions associated to $ρ$, and the Littlewood-Paley $g$-function associated to $ρ$, where the Littlewood-Paley $g$-function and some of the radial maximal functions are defined via kernels which are modeled on the semigroup generated by the Schrödinger operator. These results apply in a wide range of settings, for instance, to the Schrödinger operator or the degenerate Schrödinger operator on ${\mathbb R}^d$, or the sub-Laplace Schrödinger operator on Heisenberg groups or connected and simply connected nilpotent Lie groups.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素から導かれる適切な関数 ρ を用いて、RD-空間上での局所化された BMO および BLO 空間の理論を構築すること。
• BMOρ(X) の基本的性質、特にジョン＝ニレングラスの不等式を確立し、BLOρ(X) を同値ノルムを用いて特徴づけること。
• BMOρ(X) および BLOρ(X) 上で、最大作用素、径方向最大関数、およびリトルウッド＝パイルの g-関数の有界性を証明すること。
• 既知の BMO-型空間に関する結果を一般の RD-空間へ拡張し、それらをシュレーディンガー作用素に応用すること。
• 逆ヒルベルト条件を満たすポテンシャル関数が存在する状況下で、熱核の差に対する新たな定量的推定および g-関数の挙動に関する結果を提供すること。

提案手法

• シュレーディンガー作用素のポテンシャル V に関連する適切な関数 ρ を用いて、RD-空間上での局所化された BMOρ(X) および BLOρ(X) 空間を定義する。
• V ∈ Bq(G,d,µ) かつ q ∈ (D/2,D] を満たす V に対して、逆二重性条件および逆ヒルベルト不等式を用いて、ρ の成長を制御する。
• 補助関数 ρ を用いた球上での振動の推定を用いて、BMOρ(X) におけるジョン＝ニレングラスの不等式を確立する。
• 最大関数および局所化された径方向最大関数 S+ρ を含む複数の同値ノルムを用いて、BLOρ(X) を特徴づける。
• 半群論を用いて、熱核 Tt(x,y) 及びその摂動 eTt(x,y) を分析し、核の差の点ごとの推定を導出する。
• (1,N)-AOTI 群の理論および L2-有界性を応用し、BMOρ(X) および BLOρ(X) 上での g-関数および最大作用素の有界性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー作用素から導かれる適切な関数 ρ を用いて、RD-空間上での BMO および BLO 空間をどのように局所化できるか？
• RQ2 局所化された BMOρ(X) 空間におけるジョン＝ニレングラスの不等式はどのような形をとり、関数 ρ にどのように依存するか？
• RQ3 局所化された BLOρ(X) 空間の同値な特徴づけは何か？また、それらは最大関数や g-関数とどのように関係するか？
• RQ4 ハーディ＝リトルウッドの最大作用素、径方向最大関数、およびリトルウッド＝パイルの g-関数は、BMOρ(X) および BLOρ(X) 上で有界か？
• RQ5 これらの結果は、ヒルベルト群、可解なノルム群、および R^d 上の退化したシュレーディンガー作用素へ拡張可能か？

主な発見

• BMOρ(X) に対してジョン＝ニレングラスの不等式が成り立ち、定数は適切な関数 ρ および二重次元 D に依存する。
• BLOρ(X) は、局所化された径方向最大関数 S+ρ およびハリー＝リトルウッドの最大関数を含む複数の同値ノルムを用いて特徴づけられる。
• ρ に関連するリトルウッド＝パイルの g-関数は、BMOρ(X) から BLOρ(X) への有界作用素であり、作用素ノルムは ∥f∥BMOρ(G) によって制御される。
• すべての f ∈ BMOρ(G) に対して、T+(f)、eT+(f)、T+ρ(f)、P+(f)、eP+(f)、eP+ρ(f)、g(f)、および [g(f)]² は、BMOρ(X) 上で有界であり、BLOρ(X) に値をとる。
• すべての f ∈ BMOρ(G) に対して、これらの作用素の BLOρ(G)-ノルムの和は、普遍定数を用いて ∥f∥BMOρ(G) によって上から抑えられ、その定数は N に依存しない。
• これらの結果により、R^d 上のシュレーディンガー作用素、ヒルベルト群、および連結で単連結なノルム群上でのシュレーディンガー作用素に対して、新たな有界性推定が得られる。特に、逆ヒルベルト条件を満たすポテンシャル関数の下で成立する。