[論文レビュー] Localized Chern Characters for 2-periodic complexes

Bumsig Kim, Jeongseok Oh|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、代数幾何におけるcosection局在化と2周期的複体に対する局在化されたチャーン特徴類の間の正確な同型を確立し、Landau-Ginzburg (LG) 量子写像理論における $ p $-field に関連するコーサン複体に対して適用する。この同型により、$ \varepsilon $-安定量子写像とそのLG対応物の仮想サイクルが等しいことが示され、数え上げ幾何における主要な比較問題が解決される。

ABSTRACT

For a two-periodic complex of vector bundles, Polishchuk and Vaintrob have constructed its localized Chern character. We explore some basic properties of this localized Chern character. In particular, we show that the cosection localization defined by Kiem and Li is equivalent to a localized Chern character operation for the associated two-periodic Koszul complex, strengthening a work of Chang, Li, and Li. We apply this equivalence to the comparison of virtual classes of moduli of epsilon-stable quasimaps and moduli of the corresponding LG epsilon-stable quasimaps, in full generality.

研究の動機と目的

• 仮想サイクル構成における2つの主要な手法、すなわちcosection局在化（Kiem-Li）と局在化されたチャーン特徴類（Polishchuk-Vaintrob）の関係を明確化すること。
• $ p $-field に関連するコーサン複体に対するcosection局在化が、局在化されたチャーン特徴類作用に等価であることを示すこと。
• この同型を用いて、$ \varepsilon $-安定量子写像とそのLandau-Ginzburg (LG) 対応物の仮想基本クラスを一般に比較すること。
• 局在化されたチャーン特徴類を用いて、$ p $-field を持つ量子写像のモジュライ空間における仮想サイクルを統一的に計算する枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者たちは、$ p $-field に関連するコーサン複体の2周期的複体構造を用い、PolishchukとVaintrob の構成により局在化されたチャーン特徴類を定義する。
• 彼らは、余接バンドル $ C_{Z(\beta_0)}U_{PQ} $ 上の複体 $ \{p_0^*\sigma, t_F\} $ の変形を構成し、これを $ \{0, m^*t_K\} \otimes \{p_0^*\text{taut}, 0\} $ に変形する。この変形は $ Q_X^\varepsilon $ 上に台を持つ。
• 変形は、双変換類と局在化されたチャーン特徴類の形式的枠組みを用いて分析され、Todd類と行列式ラインバンドルの性質に依拠する。
• 彼らは第2.4.1節の結論を適用し、変形された複体の局在化されたチャーン特徴類を仮想クラス $[Q_X^\varepsilon]^{\text{vir}}$ と関連付ける。この関係は、埋め込み $ i: C_{Q_X^\varepsilon}U^\varepsilon \to C_{Z(\beta_0)}U_{PQ} $ の標準的向き $[i]$ を用いる。
• 重要な恒等式 $$ \mathrm{ch}^{C_{Z(\beta_0)}U_{PQ}}_{Q_X^\varepsilon}(\{0,m^*t_K\} \otimes \Lambda^\bullet(P^\vee \oplus Q^\vee)) \cap [C_{Z(\beta_0)}U_{PQ}] = (-1)^{\chi(\mathcal{V}_2^\vee)} (\mathrm{td}F|_{Q_X^\varepsilon})^{-1} \cdot [Q_X^\varepsilon]^{\text{vir}} $$ が、コーサン＝トーム複体と双対性の性質を用いて導出される。
• 最終的な結果は、局在化されたチャーン特徴類の表現が $ (-1)^{\chi(\mathcal{V}_2^\vee)} \mathrm{td}F $ を乗じた後に仮想サイクルと一致することを検証することで得られ、$ \lambda = 0 $ の場合の同型が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KiemとLiによるcosection局在化の構成は、関連する2周期的コーサン複体に対する局在化されたチャーン特徴類作用と同型であるか？
• RQ2 $ \varepsilon $-安定量子写像の仮想基本クラスは、局在化されたチャーン特徴類を用いてそのLG量子写像対応物と比較可能か？
• RQ3 $ p $-field に関連する2周期的複体の局在化されたチャーン特徴類は、cosectionが存在する状況で仮想サイクルを回復するか？
• RQ4 複体 $ \{p_0^*\sigma, t_F\} $ が $ \{0, m^*t_K\} \otimes \{p_0^*\text{taut}, 0\} $ に変形されると、局在化されたチャーン特徴類の計算にどのような影響を与えるか？
• RQ5 Todd類と行列式ラインバンドルは、局在化されたチャーン特徴類と仮想サイクルを結ぶ際に果たす正確な役割は何か？

主な発見

• KiemとLiによるcosection局在化は、$ p $-field に関連する2周期的コーサン複体に対する局在化されたチャーン特徴類作用と同型である。
• $ \varepsilon $-安定量子写像の仮想基本クラスは、局在化されたチャーン特徴類とcosection局在化の同型を用いて、そのLG対応物と等しいことが示された。
• $ C_{Z(\beta_0)}U_{PQ} $ 上の変形された複体 $ \{0, m^*t_K\} \otimes \{p_0^*\text{taut}, 0\} $ の局在化されたチャーン特徴類は、符号とTodd類補正を除き、仮想サイクル $[Q_X^\varepsilon]^{\text{vir}}$ を計算する。
• 表現 $ (-1)^{\chi(\mathcal{V}_2^\vee)} (\mathrm{td}F|_{Q_X^\varepsilon})^{-1} \cdot [Q_X^\varepsilon]^{\text{vir}} $ は、変形された複体の局在化されたチャーン特徴類として回復される。
• 標準的向き $[i]$ は $[i]([C_{Z(\beta_0)}U_{PQ}]) = [C_{Q_X^\varepsilon}U^\varepsilon]$ を満たし、最終的な等式を導くために不可欠である。
• この結果により、仮想クラスの比較が完全に一般化されたものであることが確認され、Chang, Li, および Li の以前の研究が拡張された。