[論文レビュー] Localized model reduction for parameterized problems

Andreas Buhr, Laura Iapichino+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、部分領域における局所的低次元空間を構築し、適合または非適合手法を用いてそれらを結合することで、パrameter化された偏微分方程式に対する局所的モデル還元を導入する。トランスファーエルゴン値問題を用いた最適な局所的近似空間、オフライン学習のためのランダム化サンプリング、適応的拡張、および事後誤差推定を提示し、マルチスケール、線形弾性、および流れの問題において、計算コストとストレージを低減しつつ、効率的なオンライン計算を可能にする。

ABSTRACT

In this contribution we present a survey of concepts in localized model order reduction methods for parameterized partial differential equations. The key concept of localized model order reduction is to construct local reduced spaces that have only support on part of the domain and compute a global approximation by a suitable coupling of the local spaces. In detail, we show how optimal local approximation spaces can be constructed and approximated by random sampling. An overview of possible conforming and non-conforming couplings of the local spaces is provided and corresponding localized a posteriori error estimates are derived. We introduce concepts of local basis enrichment, which includes a discussion of adaptivity. Implementational aspects of localized model reduction methods are addressed. Finally, we illustrate the presented concepts for multiscale, linear elasticity and fluid-flow problems, providing several numerical experiments. This work has been accepted as a chapter in P. Benner, S. Grivet-Talocia, A. Quarteroni, G. Rozza, W.H.A. Schilders, L.M. Sileira. Handbook on Model Order Reduction. Walter De Gruyter GmbH, Berlin, 2019+.

研究の動機と目的

• 大規模でマルチスケールかつパrameter化されたPDEに対する標準的なモデル還元における次元の呪いと高いオフラインコストに対処する。
• グローバルな低次元基底法の制限を克服し、オンライン段階における局所的適応性および幾何的／トポロジカルな柔軟性を可能にする。
• 正確かつ計算的に効率的な両立する最適な局所的低次元空間を構築するフレームワークを開発する。
• 厳密な事後誤差推定を伴う局所的で非適合および適合結合戦略を用いて、オンライン効率的な計算を実現する。
• 適応的基底拡張とランダム化サンプリングを統合し、精度を維持しつつオフライントレーニングコストを低減する。

提案手法

• 部分領域における局所的トランスファーエルゴン値問題の解を用いて最適な局所的低次元空間を構築し、コルモゴロフn幅を最小化する。
• オフライントレーニングの複雑さを低減するため、最適な局所的空間をランダム化サンプリングで近似する。
• 適合（例：静的縮退、ArbiLoMod）または非適合（例：ペナルティ法、DG）結合技術を用いて局所的低次元空間を結合する。
• 局所的で計算可能な事後誤差推定器を導出し、局所的低次元空間の適応的拡張を支援する。
• 非アフィンなパラメトリック依存性を扱うために、Empirical Interpolation Methods (EIM) を統合し、非線形および非アフィン問題におけるオンライン効率を実現する。
• 内積が全有限要素次元ではなく、補間関数の数にのみ依存するように、局所的辞書（例：有限要素基底）を選択することで、オンライン効率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメトリック楕円型PDEにおける部分領域に対して、最適な局所的低次元空間はどのように構築できるか？
• RQ2 ランダム化サンプリングは、局所的オフライントレーニングの精度と効率にどのような影響を与えるか？
• RQ3 適合および非適合結合戦略は、グローバルな近似における安定性と正確性を確保するためにどのように設計できるか？
• RQ4 事後誤差推定器は、局所的低次元空間の適応的拡張を支援するために局所化可能か？
• RQ5 局所的モデル還元において、非アフィンおよび非線形なパラメトリック依存性はどのように効率的に扱えるか？

主な発見

• 最適な局所的低次元空間は、局所的トランスファーエルゴン値問題を解くことで構築され、コルモゴロフn幅を最小化し、高い近似精度を保証する。
• ランダム化サンプリングは、最適な局所的空間の信頼性と効率的な近似を提供し、オフライントレーニングコストを顕著に低減する。
• 局所化され、オンラインで計算可能な事後誤差推定器が導出され、局所的低次元空間の適応的拡張を可能にする。
• 局所的辞書を用いることで、パラメトリック作用素の評価に必要な計算複雑度を低く抑え、オンライン効率とストレージ低減を実現する。
• 数値実験により、マルチスケール、線形弾性、および流れの問題において、高い精度と低い計算コストを達成する本手法の有効性が示された。
• 誤差推定器に基づく適応的拡張により、最適制御やモンテカルロ法などの外ループアプリケーションにおいて最適な計算複雑度が達成された。