[論文レビュー] Localized States in Quantum Field Theory

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、基底位置状態 |x⟩ と波束状態 |ψ⟩ の区別を通じて、相対論的量子場理論における局在状態に関する長年の懸念を解決し、ローレンツ共変性が保たれ、光を超える情報伝達を可能にしない超光速拡散が存在することを示している。また、リー・シュリーダーの定理が正確な空間的局在を禁じるものではないことを示し、QFTにおける因果律との整合性を回復している。

ABSTRACT

Localized states in relativistic quantum field theories are usually considered as problematic, because of their seemingly strange (non covariant) behavior under Lorentz transformations, and because they can spread faster than light. We point out that a careful quantum field theoretic analysis in which we distinguish between basis position states and wave packet states clarifies the issue of Lorentz covariance. The issue of causality is resolved by observing that superluminal transmission of information cannot be achieved by such wave packets. Within this context it follows that the Reef-Schlieder theorem, which proves that localized states can exhibit influence on each other over space like distances, does not imply that such states cannot exist in quantum field theory.

研究の動機と目的

• 相対論的量子場理論における局在状態が存在可能かどうかという長年の議論を解決すること。
• QFTにおける基底位置状態 |x⟩ と波束状態 |ψ⟩ の区別を明確にすること。
• 相対論的波束から生じるローレンツ共変性および因果律の見かけ上の違反が、解釈の誤りに起因するものであることを示すこと。
• リー・シュリーダーの定理が、量子状態の正確な空間的局在を禁じるものではないことを示すこと。
• 超光速の波束拡散が、超光速の情報伝達を意味しないことを確立すること。

提案手法

• 基底位置状態 |x⟩ と運動量固有状態の重ね合わせによって構成される波束状態 |ψ⟩ を区別する。
• 時間に依存する波束プロファイル g(t, p) を用いた第二量子化形式を用い、フォック空間における局在状態を定義する。
• 相対論的グリーン関数 G(t, x; 0, 0) を用いて初期デルタ関数波束の時間発展を分析し、t=0 における局在化がローレンツ不変であることを示す。
• 2種類の伝播関数を導出する：位置状態 |x⟩ に対する G(t′, x′; t, x) と変換された状態 |˜x⟩ に対する ˜G(t′, x′; t, x) で、これらは場演算子 ϕ+(t, x) を介して関連づけられる。
• 波束プロファイル f(t, x) および ˜f(t, x) にシュレーディンガー方程式を適用し、正の周波数に対してクライン＝ゴルドン方程式を満たすことを示す。
• 遷移振幅を計算し、伝播関数を導出するための内積 ⟨Ψ2(t′)|ψ1(t)⟩ を用い、時間順序形式 ⟨0|Tϕ(x′)ϕ(x)|0⟩ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的量子場理論において、ローレンツ共変性を損なわずに局在状態を一貫して定義できるか？
• RQ2 相対論的波束の超光速拡散は、因果律の違反を意味するのか？
• RQ3 リー・シュリーダーの定理は、局在量子状態の存在と調和することができるか？
• RQ4 相対論的QMにおける位置演算子の見かけ上の非共変性は、根本的な問題であるのか、それとも誤解の結果であるのか？
• RQ5 伝播関数における時空的に離れた事象の間で非ゼロの振幅が得られることが、光速を超える情報伝達を可能にするのか？

主な発見

• 初期波束 |ψ(0)⟩ = a†(x₀)|0⟩ = |x₀⟩ は t=0 でローレンツ不変であり、すべての慣性系で x′=0 に局在したまま保たれる。
• 伝播関数 G(t′, x′; t, x) = ⟨x′|eiH(t′−t)|x⟩ はローレンツ共変性を満たし、|G(t, x)|² は光円錐上で特異的であり、それ以外ではゼロである。
• リー・シュリーダーの定理は、超光速信号伝達の意味での非局所性を意味しない。非局所的影響は情報伝達に利用できない。
• 伝播関数 ˜G(t′, x′; t, x) = ⟨˜x′|eiH(t′−t)|˜x⟩ は時空的に離れた点に対しても非ゼロの振幅を持つ。その値は ˜G = (1/π²) m² / √(r²−t²) K₁(m√(r²−t²)) で与えられ、これは因果律に反しない。
• 波束プロファイル f(t, x) と ˜f(t, x) は ˜f(0, x) = √(2ωx) f(0, x) で関連づけられ、両方ともフォック空間における有効な1粒子状態を定義する。
• 確率密度 |f(t, x)|² は常に正であり、ハミルトニアンは正定値であるため、量子力学と整合的である。